2018 :

Détails

Catégorie : Exercices du BAC

La viscosité d'un liquide caractérise à la fois la force de résistance qu’il exerce sur un objet en chute et sa résistance à l'écoulement. Avec un dispositif approprié, il est possible de suivre l’évolution du mouvement de chute d'une bille dans un tube vertical contenant le liquide à étudier et de déduire la viscosité dudit liquide à partir de la vitesse limite de chute.

Une bille sphérique homogène S, de masse m et de rayon r, pénètre verticalement dans un bassin de stockage supposé infiniment profond, rempli d’un liquide de masse volumique µ (figure 1).

Le centre de la bille arrive à l’instant t = 0 en O, à la distance r de la surface libre du liquide à l’intérieur du bassin, avec une vitesse verticale de plongée .
L’étude du mouvement se fera suivant l’axe Ox vertical dirigé vers le bas.
La bille est soumise à trois forces :

- le poids ;

- la force de viscosité f opposée au déplacement, proportionnelle à la vitesse et supposée appliquée au centre d’inertie G de la bille : , relation où k est une constante positive liée à la viscosité du liquide;

- la poussée d’Archimède .

3.1. Représenter, à un instant t donné, la bille et les forces extérieures appliquées au centre d’inertie. (0,5 pt)

3.2. En appliquant le théorème du centre d’inertie, montrer que l’équation différentielle du mouvement relative à la vitesse du centre d’inertie de la bille s’écrit :

(0,75 pt)

3.3. Montrer que la vitesse du centre d’inertie atteint une limite VL dont on donnera l’expression en fonction de k, m, µ, r et g. Sachant que VL = 24 en déduire la valeur de k.   (0,75 pt)

3.4. La solution générale de l’équation différentielle précédente est de la forme : , relation où A et B sont des constantes.

Etablir les expressions de A et B respectivement en fonction de et de et en se plaçant aux conditions limites . Donner alors l’expression de la vitesse instantanée V du centre d’inertie de la bille en fonction de et le temps t (0,75 pt)

3.5. Déterminer la loi horaire x(t) du mouvement vertical du centre d’inertie de la bille dans le liquide en fonction de et le temps t. (0,75 pt)

3.6. Evaluer, à l’issue de 10 s de chute, le bilan des travaux des forces appliquées à la bille. En déduire le travail de la force de viscosité pour cette durée. (0,5 pt)

On donne : m = 1,4 kg ; r = 3,5 cm ; µ = ; = 2 m/s ; .

• Suivant >