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Corrigé 2015

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

$f(x)=(x^2-3)e^{-x}$

$Df=\mathbb{R}$

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ $\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\Longrightarrow y=0\; AH$

$\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty\Longrightarrow (C)$ admet une branche parbolique en , de direction (oy)

$f(x)=(x^2+éx+3)e^{-x}$ d'où f'(x)=0 $\Longrightarrow$ S{-1 ; 3}.

$f(x)=0\Longrightarrow x=-\sqrt{3}ou\sqrt{3}\Longrightarrow(C)\cup(Ox)=\{A(-\sqrt{3},0)\;B(\sqrt{3},0)\}$
E(0,f(o)=(0,-3) $\Longrightarrow y\;=\;3\times -3$ .

F est continue et croissante sur [-1, 3] donc f est bijection J = [-1,3] sur $K = [-2e, 6e^{-3}].$

$(f^{-1})^{\prime}(-3)=\frac{1}{f((f^1(-3))}=\frac{1}{f^{\prime}(0)}=\frac{1}{3}$ alors f(0)=-3

$\begin{matrix}si&m&\in&]-\infty,-2e[,&\textrm{on a 0 solution.}\\\\ si&m&\in&]-2,0[,&\textrm{on a 2 solutions.}\\\\ si&m&\in&]0,6e^{-3}[,&\textrm{on a 3 solutions.}\\\\ si&m&\in&]6e^{-3}+\infty[,&\textrm{on a 1 solution.}\\\\ si&m&=&2e,&\textrm{on a 1 solution.}\\\end{matrix}\right.$

$F(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$

$F^{\prime}(X)=f(x)\;\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lll}a&=&1\\c&=&-2\\c&=&1\end{array}\right.$

$F(x)=(ax^2+2x+1)e^{-x}$

$A(\alpha)=\int^{\alpha}_3f(x)dx\left[\left(-x^2-2x+1\right)e^{x}\right]^{\alpha}_3=\left(-\alpha^2-2\alpha +1\right)e^{-\alpha}+1+e^{-3}$

$A(\alpha)$ est l'axe du domaine limite sur C, l'axe des abscisses et la droite d'abscisse $x = 3,\; x = \alpha$

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=14e^{-3}$

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