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Corrigé 2015

Détails: Catégorie : algèbre

1) $\textrm{Soit la matrice A =} \begin{pmatrix}1&2&-1\\ 2&-1&5\\ 1&2&-3\end{pmatrix};\quad |A|\;=10$

$\begin{matrix}L_1\\L_2\\L_3\end{matrix}\quad\begin{pmatrix}1&2&-1&1&0&0\\ 2&-1&5&0&1&0\\ 1&2&-3&0&01\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow \begin{matrix}L_1&=&l_1&&\\ L_2&=&L_2&-&24\\ L_3&=&L_3&-&4 \end{matrix}\quad \begin{pmatrix}1&2&-1&1&0&0\\ 0&-5&7&-2&1&0\\ 0&0&-2&1&0&1\end{pmatrix}\Longrightarrow$

$A^{-1}\;=\begin{pmatrix}\frac{-7}{10}&\frac{2}{5}&\frac{9}{10}\\\\ \frac{11}{10}&\frac{-1}{5}&\frac{-7}{10}\\\\ \frac{1}{2}&0&\frac{-1}{2}\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{array}{lllllll}x&+&2y&-&z&=&2\\ 2x&-&y&+&5z&=&6\\ x&+&2y&-&3z&=0\end{array}\right.\Longrightarrow AX=B,\quad A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 2&-1&5\\ 1&2&-3\end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}$

$AX=B\Longrightarrow X=A^{-1}B\Longrightarrow X=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ donc S = {(1,1,1)}.

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