2017 : Fonctions ln

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2017 : Fonctions ln

Terminale S1 et S3

2017 : Fonctions ln

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Le plan orienté $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique 4 cm).

n étant un entier naturel non nul, on s’intéresse aux solutions dans $\mathbb{R}$ de l’équation d’inconnue
x : $(E_n):x+e^x-n\,=\,0$

Soit fn la fonction d´efinie sur R par :
$f_n(x)\,=\,x+e^x-n$ .

On note $C_{f_n}$ la courbe repr´esentative de $f_n$ dans le repère.

Partie A

1. a. Vérifier que pour tout réel x strictement positif, ln x - x < 0. 0.5 pt

b. Montrer que l’équation $(E_n)$ possède une solution unique $u_n$ et que un appartient à l’intervalle $\left]ln\frac{n}{2},ln\,n\right]$ . 0.5 + 0.5 pt

c. En déduire les limites suivantes : $\lim_{x\mapsto +\infty},\quad\lim_{n\mapsto +\infty}\frac{u_n}{n}\,et\,\lim_{n\mapsto +\infty}\frac{u_n}{ln\,n}$ . 3 × 0.25 pt

d. Calculer $u_1$ . 0.25 pt

2. Dans cette question et celles qui suivent, on pourra au besoin se servir de l’équivalence
suivante :

$\forall x\in\mathbb{R},\; x+e^x-n\,=\,0\leftrightarrow e^x\,=\,n-x$

a. Calculer $\lim_{n\mapsto +infty}\frac{e^{u_{n+1}}}{e^{u_n}}$ .

Montrer alors que $\lim_{n\mapsto +infty}u_{n+1}-u_n\,=\,0$ . 0.5 + 0.25 pt

b. A l’aide des variations de l’application $f_n$ , étudier celles de la suite $(u_n)$ . 0.75 pt

c. On note An l’aire du domaine plan délimité par les droites d’équations $x\,=\,u_{n+1},\,x\,=\,u_n$ , l’axe des abscisses et la courbe $C_{f_n}$ . Montrer que : $\mathcal{A}_n\,=\,\frac{1}{2}(u^2_{n+1}-u^2_n)-(u_{n+1}-u_n)+1$ .

Vérifier que pour tout x appartenant à l’intervalle fermé d’extrémités $u_{1n+}\;et\; u_n$ , on a : $0\leq f_n(x)\leq 1$ .

En déduire $\lim_{n\mapsto +\infty}\mathcal{A}_n$ . 0.75 + 2 × 0.25 pt

3. a. En utilisant la définition de la dérivée d’une fonction en un point, vérifier qu’il existe une fonction " définie dans un intervalle ouvert contenant 0 telle que pour tout h dans cet intervalle, on ait :

$ln(1+h)\,=\,h+h\epsilon(h)\;et\;\lim_{h\mapsto 0}\epsilon(h)\,=\,0$ . 0.5 pt

b. On pose $\alpha_n\,=\,\frac{u_n}{ln\,n}-1$ c’est à dire $u_n\,=\,ln\,n\,+\,\alpha_n\,ln\,n$ .

Quelle est la limite de $(\alpha_n)$ ? 0.25 pt

c. Déterminer une suite $(y_n)$ telle que $u_n\,=\,ln\,n\,+\,ln(1+y_n)$

Déduire alors de la question (3 a.) qu’il existe une suite $\beta_n$ ayant pour limite 0 telle que

$u_n=lnn-\frac{lnn}{n}+\beta_n\frac{lnn}{n}$ . 0.5 + 0.5 pt

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse à $u_2$ .
D’après la première partie, $u_2$ appartient à l’intervalle [0, ln 2].

On note g l’application de [0, 1] dans $\mathbb{R}$ telle que $\forall x\in[0,1],\,g(x)\,=\,ln(2-x)$ et on pose $b\,=\,\frac{2}{3}ln2\;et\;a\,=\,g(b)$ .

1. a. Montrer que $u_2$ est le seul point fixe de g et que $u_2$ appartient à l’intervalle I = [a, b]. 0.5 + 0.5 pt

b. Prouver que g est dérivable sur I et $\forall x\in I,|g^{\prime}(x)|\leq|g^{\prime}(b)|$

Enoncer clairement le théorème qui permet d’en déduire que

$\forall x\in I,|g(x)-g(y)|\leq|g^{\prime}(b)||x-y|$ . 0.5 + 0.25 pt

c. Vérifier que $g(I)\subset I$ . 0.5 pt

2. On pose, $a_0\,=\,b$ et pour tout entier naturel n, $a_{n+1}\,=\,g(a_n)$

a. Démontrer que la suite $(a_n)$ est bien définie ( c’est à dire démontrer que pour tout entier naturel n, $a_n$ appartient à l’ensemble de définition de g) et que pour tout entier naturel n, $(a_n)$ appartient à I. 0.25 pt

b. Démontrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N},|a_n-u_2|\leq|g^{\prime}(b)|^n(b-a)$

En déduire que la suite $(a_n)$ est convergente et calculer sa limite. 0.5 + 0.25 pt

c. Quelle valeur suffit-il de donner à n pour que an soit une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-3}$ ?

3. Représenter sur un même graphique, les restrictions de g et $f_2$ à l'intervalle [0,1], le domaine $A_2$ , la droite d’équation y = x les points de coordonnées respectives $(a,0),\;(b,0),\,(u_2,0),\,(u_3,0)$ . 0,5 pt

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