2017 :

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Soit a un entier naturel non nul et $(u_n)n\in\mathbb{N}$ la suite définie par : $(u_n)\,=\,pged(n,a)$ .

1. a. Pour a = 15, calculer les 3 premiers termes de la suite $(u_n)$ . 3 × 0.25 pt

b. Pour a = 4, soient m et n des entiers naturels tels que $u_m\,=\,u_n\,=\,2$ .

Montrer que $u_{m+n}\,=\,4$ . 0.75 pt

2. a. Soit b un entier naturel.

Démontrer que pour tout entier relatif q on a : pgcd(a, b) = pgcd(a, b - qa). 0.75 pt

b. Calculer $u_0$ et $u_a$ . 2 × 0.25 pt

c. Démontrer que $u_{n+a}\,=\,u_n$ .

Quelle propriété de la suite $(u_n)$ a-t-on mise en évidence ? 0.5 + 0.25 pt

3. Pour a = 15, calculer $u_n$ avec $n\,=\,15^{21}+2$ . 0.5 pt

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