2017 :

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Catégorie : Géométrie dans l'espace

ABCEDFGH est un cube d’arête 1. On rapporte l’espace au rep`ere orthonormé direct.

1. a. Déterminer les coordonnées du vecteur .  0.5 pt 

b. En déduire une équation cartésienne du plan (BGD). 0.5 pt 

c. Vérifier que la droite (EC) est orthogonale au plan (BGD). 0.5 pt

2. Donner une équation de la sphère (S) de centre C et tangente au plan (BGD).    0.5 pt

3. A tout appartenant à l’intervalle [0, 1] on associe le point M de coordonnées .

a. Montrer que M est un point du segment [EC]. 0.5 pt

b. Montrer que la distance du point M à la droite (BD) est égale à 0.75 pt

c. Déterminer pour que la distance de M à la droite (BD) soit minimale. 0.25 pt

Soit L le point associé à cette valeur de .

d. Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BGD.  0.25 pt

4. Soit h l’homothétie de centre E et de rapport k ? [0, 1].

a. Donner l’expression analytique de h. 0.5 pt

b. Vérifier que h(C) = M. 0.25 pt

c. Déterminer une équation de (S') image de (S) par h. 0.5 pt

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