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Corrigé 2016 :

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A

1. a.

La fonction $\phi:x\mapsto x-1-lnx$ est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R^\ast_+}$ et

$\forall x\in\mathbb{R^\ast_+},\phi^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$

La dérivée s’annule au point 1 et est > 0 si et seulement si x > 1. Voici le tableau de variations de $\phi$

On y voit nettement que la fonction $\phi$ est positive ; donc $\forall x\in\mathbb{R^\ast_+},lnx\leq x-1.$

Soit x un réel > 0 et k un entier naturel non nul. Dans la relation précédente, en remplaçant x par $\frac{x}{k}$ , on a $ln\frac{x}{k}\leq\frac{x}{k}$ puis par intégration :

$\int^{k+1/2}_{k-1/2}ln\frac{x}{k}dx\leq\int^{k+1/2}_{k-1/2}\left(\frac{x}{k}-1\right)dx=\left[\frac{x^2}{2k}-x\right]^{x=k+1/2}_{x=k-1/2}=0$

b. En sommant les relations précédentes de k = 1 à k = n on a :

$\sum_{k=1}^n\int^{k+1/2}_{k-1/2}ln\frac{x}{k}dx\leq 0$ puis $\sum_{k=1}^n\int^{k+1/2}_{k-1/2}(lnx-lnk)dx\leq 0$

ensuite, avec la relation de Chasles :

$\int^{n+1/2}_{1/2}lnxdx-\sum_{k=1}^nlnk\leq 0$ ou $\int^{n+1/2}_{1/2}lnx\quad dx-ln(n!)\leq 0$

c. Comme $x\mapsto xlnx$ est une primitive de $x\mapsto lnx$ (résultat que l’on obtient par intégration par parties),

$\left[xlnx-x\right]^{n+1/2}_{1/2}ln(n!)\leq 0$ c'est à dire $ln(n!)+n-\left(n+\frac{1}{2}\right)ln\left(n+\frac{1}{2}\right)ln\sqrt{2}\geq 0$

2. a.

La fonction g est définie, continue et dérivable sur [0, 1[ et $\forall x\in[0,1[,g^{\prime}(x)=\frac{2s}{(1-x^2)^2}$

Voici le tableau de variations de g.

- Pour tout x dans ]0, 1[, la fonction h est continue sur [0, x], dérivable sur ]0, x[ et pour tout $u\in]0,x[,h^{\prime}(u)=g(u).$ . D’après le théorème des accroissements finis, il existe un réel c dans l’intervalle ]0, x[ tel que $\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=h^{\prime}(c)$ c’est à dire $\frac{1}{x}\int^{x}_0g(t)dt=g(c)$ ou f(x) = g(c).

Mais puisque la fonction g est croissante $g(0)\leq g(c)\leq g(x)$ ; donc $1\leq f(x)\leq g(x)$ .

- Si on veut utiliser la valeur moyenne de g on peut dire : La fonction g étant continue, $\frac{1}{x}\int^x_0g(t)dt$ , valeur moyenne de g sur [0, x] est une valeur de g ; il existe donc c dans [0, x] tel que $\frac{1}{x}\int^x_0g(t)dt=g(c)$ .

La fonction g étant continue, sa limite en 0 est g(0) = 1. Alors les inégalités $1\leqf(x)\leq g(x)$ et le théorème des gendarmes entraînent que f aussi a pour limite 1 = f(0) quand x tend vers 0 et donc oui ! f est continue en 0.

c. Pour montrer qu’il existe deux réels a et b tels que $\forall t\in I,g(t)=\frac{a}{1-t}+\frac{b}{1+t}$ , il suffit de réduire au même dénominateur et d’identifier les numérateurs. On trouve $a=b=\frac{1}{2}$ puis $g(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right).$

On en déduit par intégration que

$\forall t\in]0,1[,f(x)=\frac{1}{x}\int^x_0\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt=\frac{1}{2x}\left[ln(1+t)-ln(1-t)\right]^x_0=\frac{1}{2x}ln\frac{1+x}{1-x}$

3. a. Un calcul direct montre que $\forall n\in\mathbb{N^{\ast}},$

$\begin{array}{lll}u_{n+1}-u_n&=&ln\left[(n+1)!\right]-\left(n+1+\frac{1}{2}\right)ln(n+1+n+1-ln(n!)+\left(n+\frac{1}{2}\right)lnn-n\\\\&=&1-\frac{2n+1}{2}ln\frac{n+1}{n}\\\\&=&1-f\left(\frac{1}{2n+1}\right)\end{array}$

Puisque pour tout x de [0, 1[, f(x) est $\geq 1$ , cette dernière relation entraine que $\forall n\in\mathbb{N^{\ast}},u_{n+1}-u_n$ est $\leq 0$ ; la suite $(u_n)$ ) est donc décroissante.

b.
$\begin{array}{lll}\forall n\in\mathbb{N^{\ast}},u_n&=&ln(n!)+n-\left(n+\frac{1}{2}\right)lnn\\\\&\geq& ln(n!)+n-\left(n+\frac{1}{2}\right)ln(n+1)\textrm{car ln est croissante}\\\\&\geq& ln\sqrt{2}\quad\textrm{d'apr\`{e}s la question 1.c}\end{array}$

c. La suite $(u_n)$ étant décroissante et minorée est convergente.

Partie B

1. a. $v_1=\int_0^{\pi/2}\textrm{sin t dt}=[-cost]_0^{\pi/2}=1$

$\forall n\in\mathbb{N^{\ast}},v_n$ est $\geq 0$ puisque intégrale d’une fonction continue $\geq 0$

$u_{n+1}-u_n=\int_0^{\pi/2}sin^n\textrm{(sin t - 1)}dt$ est = $\leq 0$ puisque intégrale d’une fonction $\leq 0$ . La suite $(v_n)$ est donc décroissante.

b. Pour tout entier naturel n, en posant $u=sin^{n+1}t$ et $v^{\prime}=\textrm{sin t}$ , on a $u^{\prime}=(n+1)sin^nt\textrm{cos t}$ et on peut prendre v = - cos t ; une intégration par parties donne alors :

$\begin{array}{lll}u_{n+2}&=&\int_0^{\pi/2}sin^{n+1}t\text{ sin t}dt\\\\&=&\left[uv\right]_0^{\pi/2}+(n+1)\int_0^{\pi/2}sin^{n}t cos^2 t\text{ dt}\\\\&=&(n+1)\int_0^{\pi/2}sin^nt(1-sin^2t)dt\\\\&=&(n+1)(v_n-v_{n+2}\end{array}$

Ce qui entraîne bien $v_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}v_n.$

c. On a pour tout entier naturel n :

$\begin{array}{lll}\frac{n+1}{n+2}&=&\frac{v_{n+2}}{v_n}\\\\&\leq&\frac{v_{n+2}}{v_n}\textrm{ car la suite}(v_n)\textrm{est d\'{e}croissante}\\\\&\leq&1\textrm{ car la suite}(v_n)\textrm{est d\'{e}croissante}\end{array}$

Puisque $\frac{n+1}{n+2}$ a pour limite 1 quand n tend vers $+\infty$ , le théorème des gendarmes appliqué à la relation $\frac{n+1}{n+2}\leq\frac{v_{n+1}}{v_n}\leq 1$ permet d’affirmer que $\lim_{x\to+\infty}\frac{v_{n+1}}{v_n}=1$

d. $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ = $\frac{(n+2)v_{n+2}v_{n+1}}{(n+1)v_{n+1}v_n}=1$ ; la suite $(a_n)$ est donc constante. Cette constante est égale à $a_0=v_1v_0=\frac{\pi}{2}.$

e. $\forall n\in\mathbb{N},\frac{n}{n+1}a_n\frac{v_n}{v_{n+1}}=\frac{n}{n+1}(n+1)v_{n+1}v_n\frac{v_n}{v_{n+1}}=nv^2_{n^\cdot}$ .

Comme la suite $a_n$ est constante égale à $\frac{\pi}{2}$ , la relation précédente s’écrit aussi :

$nv^2_n=\frac{n}{n+1}\frac{v_n}{v_{n+1}}\frac{\pi}{2}$ .

2. Pour tout entier naturel n, on pose $b_n=2v_{2n}$

a. n $b_n^2=\frac{1}{2}2nv_{2n}^2=\frac{1}{2}\beta_{2n}$ avec $\beta_n=nv_{2n}^2$ . et puisque la suite $\beta_n$ a pour limite $\frac{\pi}{2}$ , on peut écrire d’après les indications de l’énoncé : $\lim_{n\to +\infty}nb_{2}^2=\frac{1}{2}\lim_{n\to +\infty}\beta_{2n}=\frac{\pi}{4}$

b. Pour tout entier naturel n, appelons $P_n$ la propriété : $b_n=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\frac{\pi}{2}.$

$b_0=v_0=\frac{\pi}{2},P_O$ , est donc vraie.

Supposons $P_n$ vraie pour un entier donné n.

Alors, avec la relation (E) on peut écrire :

$\begin{array}{lll}b_{n+1}&=&v_{2n+2}=\frac{2n+1}{2n+2}v_{2n}=\frac{2n+1}{2n+2}b_{n}\\\\&=&\frac{2n+1}{2n+2}\quad\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\frac{\pi}{2}\quad car\quad P_n\quad\textrm{est suppos\'{e} vraie}\\\\&=&\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2n+2)^2}\quad\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\quad\frac{\pi}{2}\\\\&=&\frac{[(2n+1)]!}{2^{2n+2}[(n+1)!]^2}\quad\frac{\pi}{2}\end{array}$

$P_{n+1}$ est donc vraie.

3. a. Pour tout entier n on a : $e^{u_{n}}=e^{ln n!}e^ne^{-(n+1/2)lnn}=n!e^{n}n^{-n-1/2}=n!\left(\frac{e}{n}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$ .

b. Pour tout entier n on a :

$\begin{array}{lll}e^{u_{2n}-2u_{n}}&=&\frac{e^{u_{2n}}}{(e^{u_n})^2}\\\\&=&(2n)!\left(\frac{e}{2n}\right)^{2n}\frac{1}{\sqrt{2n}}\left[\frac{1}{n!}\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{n}\right]^2\\\\&=&\frac{(2n)!}{(n!)^22^{2n}}\sqrt{\frac{n}{2}}\\\\&=&\frac{1}{\pi}b_n\sqrt{2n}=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\sqrt{nb^2_n}\end{array}$

La constante A demandée vaut donc $\frac{\sqrt{2}}{\pi}$

On en déduit que $e^{u_{2n}-2u_{n}}=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\sqrt{nb^2_n}$ a pour limite $\frac{\sqrt{2}}{\pi}\sqrt{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ .