2016 :

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Corrigé 1999 : Champ magnétique total

Terminale S1 et S3

2016 :

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A :

Introduction d’une suite $(u_n)n\in\mathbb{N^\ast}$

1. a. Montrer que $\forall x\in\mathbb{R^\ast_+},lnx\leq x-1$ .

En déduire que $\forall k\in\mathbb{N^\ast},\int^{k+1/2}_{k-1/2}ln\frac{x}{k}dx\leq 0$ . 2×0.5 pt

b. Prouver alors que : $\forall n\in\mathbb{N^\ast},\int^{n+1/2}_{1/2}lnxdx-ln(n!)\leq 0$ . 0.75 pt

c. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N^\ast},ln(n!)+n-\left(n=\frac{1}{2}\right)ln\left(n=\frac{1}{2}\right)-ln\sqrt{2}\geq 0$ 0.5 pt

2. Soit g et f les fonctions numériques définies sur I = [0,1[ par

$\left\{\begin{array}{lll}g(x)&=&\frac{1}{1-x^2}\\\\f(x)&=&\frac{1}{x}\int_0^xg(t)dt\quad si\quad x\ne 0\quad et\quad f(0)=1\end{array}\right.$

a. Dresser le tableau de variations de g. 0.5 pt

b. Montrer que $\forall x\in]0,1[,1\leq f(x)\leq g(x)$ . (On pourra au besoin appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction $u\mapto\int^u_Og(t)$ dt dans l’intervalle [0,x] ou utiliser la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0,x].) f est-elle continue en 0 ? 0.5 + 0.25 pt

c. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que. $\forall t\in I,g(t)=\frac{a}{1-t}+\frac{b}{1+t^\cdot}$

En déduire que $\forall x\in ]0,1[,f(x)=\frac{1}{2x}ln\frac{1+x}{1-x^\cdot}$ . 2×0.25 pt

3. Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N^\ast}$ par :

$u_n=ln(n!)+n-\left(n+\frac{1}{2}\right)lnn$

a. Vérifer que $\forall n\in\mathbb{N^\ast},u_{n+1}-u_n=1-f\left(\frac{1}{2n+1}\right)$ ; en déduire le sens de variation de la suite $u_n$ . 0.5 + 0.25 pt

b. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N^\ast},u_n\geq ln\sqrt{2}$ . 0.5 pt

c. Montrer que la suite $u_n$ est convergente. 0.25 pt

Partie B :

Dans cette partie, on se propose de trouver la limite de la suite $u_n$ .

On admettra que si une suite $(\alpha_n)$ a pour limite l, alors la suite $(\alpha_{2n})$ a aussi pour limite l.

Soit $(v_n)$ la suite dé?nie par : $v_0=\frac{\pi}{2}$

et $\forall n\in\mathbb{N^\ast},v_n=\int^{\pi/2}_0sin^ntdt$

1. a. Calculer $v_1$ . Montrer que la suite $(v_n)$ est décroissante et positive. 3×0.25 pt

b. En intégrant par parties, prouver que (E) :

$(E):\forall n\in\mathbb{N},v_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}v_{n^\cdot}$ . 0.75 pt

c. Montrer que $(E):\forall n\in\mathbb{N},\frac{n+1}{n+2}\leq\frac{v_(n+1)}{v_n}\leq 1$ et calculer alors $\lim_{n\to =\infty}\frac{u_{v+1}}{v_n}$ . 2×0.25 pt