Partie A :
Introduction d’une suite
1. a. Montrer que .
En déduire que . 2×0.5 pt
b. Prouver alors que : . 0.75 pt
c. Montrer que 0.5 pt
2. Soit g et f les fonctions numériques définies sur I = [0,1[ par
a. Dresser le tableau de variations de g. 0.5 pt
b. Montrer que . (On pourra au besoin appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction dt dans l’intervalle [0,x] ou utiliser la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0,x].) f est-elle continue en 0 ? 0.5 + 0.25 pt
c. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que.
En déduire que . 2×0.25 pt
3. Soit la suite définie sur par :
a. Vérifer que ; en déduire le sens de variation de la suite . 0.5 + 0.25 pt
b. Montrer que . 0.5 pt
c. Montrer que la suite est convergente. 0.25 pt
Partie B :
Dans cette partie, on se propose de trouver la limite de la suite .
On admettra que si une suite a pour limite l, alors la suite a aussi pour limite l.
Soit la suite dé?nie par :
et
1. a. Calculer . Montrer que la suite est décroissante et positive. 3×0.25 pt
b. En intégrant par parties, prouver que (E) :
. 0.75 pt
c. Montrer que et calculer alors . 2×0.25 pt
d. Démontrer que la suite définie par
est constante (Indication : On pourra calculer ). Déterminer cette constante. 2×0.25 pt
e. Vérifier que .
En déduire que . 2×0.25 pt
2. Pour tout entier naturel n, on pose = v2n
a. Quelle est la limite de la suite ? 0.25 pt
b. En utilisant la relation (E), démontrer par récurrence que
. 0.75 pt
3. a. Montrer que . 0.5 pt
b. Déterminer une constante A telle que pour tout entier naturel n non nul :
; en déduire les limites des suites et. 0.5
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