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2015 :

Détails: Catégorie : Exercices du BAC

3.1. Un canon lance un projectile de masse m, supposé ponctuel, avec une vitesse initiale $\vec{V_{0}}$ faisant
un angle $\alpha$ avec l’horizontale à partir d’un point $M_{0}$ situé à la hauteur H au-dessus du niveau de la mer. Le mouvement du projectile est étudié dans le repère (OX,OY) de plan vertical, d’origine O
et de vecteurs unitaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ (figure 2 ). L’axe horizontal OX est pris sur le niveau de la mer. Dans toute la suite on néglige l’action de l’air.

3.1.1. Faire le bilan des forces appliquées au projectile puis déterminer les composantes de l’accélération du mouvement. (0,5 pt) image

3.1.2. En déduire les composantes du vecteur vitesse $\vec{V}$ du projectile et celles du vecteur position $\vec{0M}$ à chaque instant en fonction $V_{0}$ , g et H. (0,5 pt)

3.1.3. Le projectile tombe en un point C centre d’un bateau tel que OC = D.

a) Trouver l’expression du temps de vol $t_1$ mis par le projectile pour atteindre le point C en fonction de D,

$V_{0}$ et $\alpha$ . (0,25 pt)

b) Donner, en fonction de $\alpha$ , g, H et D, l’expression de $V_{0}$ pour qu’il tombe effectivement au point C. Faire l’application numérique. (0,25 pt)

c) Etablir l’expression de la hauteur maximale $h_{m}$ atteinte par le projectile par rapport au niveau de la mer en fonction de D, H et $\alpha$ . (0,5 pt)

3.2. Le projectile est maintenant lancé à partir du point O origine du repère avec un vecteur vitesse $\vec{V_{0}}^\prime$ . Le bateau a une longueur L et de même direction que OX. Le projectile tombe à une distance $d_{1}=\frac{L}{2}$ en deçà de la cible C quand le vecteur vitesse $\vec{V_{0}}^\prime$ fait un angle $\alpha_{1}$ avec l’horizontale. Il tombe à une distance $d_{2}=\frac{L}{2}$ au-delà de la cible C quand $\vec{V_{0}}^\prime$ fait un angle $\alpha_{2}$ avec l’horizontale. Le bateau est supposé immobile pendant toute la durée des tirs.

3.2.1. Exprimer la distance d1 puis $d_2$ en fonction de D, g, $\vec{V_{0}}^\prime$ et l’angle de tir $(\alpha_{1}$ ou $\alpha_{2})$ . (0,75 pt)

3.2.2. En déduire la relation $D=\frac{\vec{V_{0}^\prime}^{2}(sin2\alpha_{1}+sin2\alpha_{2})}{2g}$ (0,5 pt)

3.2.3. Déterminer en fonction de $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ l’angle $\theta$ pour que le projectile atteigne la cible puis calculer sa valeur. (0,75 pt)

On donne : g = $10 m.s^-2$ ; H = 80 m ; D =1km et $\alpha = 30^{\degre}$
; $\alpha_{1} = 30^{\degre}$ et $\alpha = 45^{\degre}$

NB : il n’est pas demandé de rendre la figure 2 avec la feuille de copie.

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