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2015 :

Détails: Catégorie : Exercices du BAC

Afin de protéger la porte de sa chambre un passionné d’électronique astucieux a imaginé le dispositif d’alarme représenté par le schéma ci-contre (figure 3).

Lorsque la porte est fermée, l’interrupteur K est en position (1), le condensateur de capacité C se charge.Dès l’ouverture de la porte, l’interrupteur bascule en position (2) et le condensateur se décharge dans le
circuit de commande de la sirène. La particularité du condensateur est qu’il ne peut pas se vider complètement : il présente une tension à vide $U_{0} = 3 V$ .

4.1 Etude du circuit de charge. Le circuit de charge du condensateur est constitué d’une alimentation assimilable à un générateur de f.e.m E = 18 V, de résistance négligeable,
d’un résistor de résistance $R = 47 k\Omega$ et du condensateur de capacité
C. L’interrupteur K bascule en position (1) à l’instant t = 0 de la fermeture de la porte.

4.1.1 Etablir l’expression de l’intensité i(t) du courant parcourant ce circuit de charge, en fonction de la tension $U_{c}(t)$ aux bornes du condensateur ; le sens arbitraire du courant est choisi comme indiqué sur la figure 4. (0,25 pt)

4.1.2 Montrer que l’équation différentielle vérifiée par la tension $U_{c}(t)$
aux bornes du condensateur est de la forme : $\frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{R.C}=\frac{E}{R.C}$ (0,5 pt)

4.1.3 La solution de l’équation différentielle est de la forme : $U_{c}(t)=Ae^{-\alpha t+B$
Préciser l’expression de chacune des constantes A, B et $\alpha$ en fonction des caractéristiques des
composants du circuit en tenant compte des conditions aux limites $u_{c}(0) = U_0$ et $u_{c}(\infty ) = E.$ (0,5 pt)

4.1.4 Quelles sont les valeurs de l’intensité du courant i(t) et de la tension $U_{c} (t)$ en régime
permanent ? (0,5 pt)

4.1.5 Quelle est la valeur de la capacité C du condensateur qui permet d’avoir une tension $U_{c}$ égale aux trois quarts de sa valeur en régime permanent en 0,20 s ? (0,25 pt)

4.2 Déclenchement de la sirène, le condensateur étant chargé.

4.2.1 On modélisera simplement le circuit de commande de la sirène par un résistor de résistance $R_{1} = 4,70 M\Omega$ et on prendra $C= 3,5\mu F$ . A la fin de la charge, l’interrupteur K a basculé en position (2), à un instant pris comme nouvelle origine des temps t = 0.

4.2.1.1 Représenter le schéma du circuit et indiquer par une flèche la tension $U_{c} (t)$ aux bornes du
condensateur de manière à ce qu'elle soit positive. (0,5 pt)

4.2.1.2 Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension uc(t). (0,5 pt)
4.2.1.3 Montrer que l’expression $U_{c}(t)=A^{\prime}e^{-\alpha^{\prime}t}+B^{\prime}$ est solution de l’équation différentielle. Préciser les expressions de A’, B’ et $\alpha^{\prime}$ . (0,75 pt)

4.2.1.4 La sirène ne se déclenche que si la tension aux bornes de son circuit de commande est supérieure à $U_{min} = 9 V$ . Pendant combien de temps après l’ouverture de la porte, fonctionnera la sirène ? (0,5 pt)

4.2.2 Le circuit de commande de la sirène est maintenant remplacé par un dipôle constitué d’une bobine d’inductance L= 10 mH de résistance négligeable et d’un résistor de résistance
$R_{d}$ , montés en série (figure 5). A la fin de la charge, comme en 4.2.1, on bascule l’interrupteur en position (2) à un instant pris comme origine des temps t=0.

On désigne par $U_{c}(t)$ la tension aux bornes du condensateur à chaque instant t.

Figure 5

4.2.2.1 On suppose, dans un premier temps, la résistance $R_{d}$ négligeable et $U_{0}=E$ . image

Etablir l’équation différentielle relative à $u_{c}(t)$ puis montrer que $u_{c}(t)=K.cos(\frac{2\pi}{T_0}t+\phi)$ est solution de cette équation différentielle où K, $T_0$ et $\phi$ sont des constantes à préciser. (0,75 pt)

4.2.2.2 On considère cette fois-ci que la résistance $R_{d} = 500\Omega$ et $u_{c}(0)=E.$

a) Montrer que l’équation différentielle à laquelle obéit $u_{c}(t)$ peut se mettre sous la forme
$\frac{d^{2}u_{c}(t)}{dt}+2\lambda.\frac{du_{c}(t)}{dt}+\frac{4\pi^{2}.u_{c}(t)}{T^2_0}=0$ avec $/lambda$ une constante à préciser. (0,5 pt)

b) Si le discriminant réduit de cette équation différentielle est négative, on parle de régime pseudopériodique et la pseudo-période T peut s’exprimer comme suit :

Calculer $T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2_d}{4L}}}$ puis la comparer à $T_0$ . (0,5 pt)

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