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Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A

1. a. la fonction f est définie et continue sur [0, 1[. Elle est dérivable dans cet intervalle et $\forall x\in [0, 1[, f'(x) = -2x -\frac{ 1}{1 - x}$

La dérivée, somme de deux réels négatifs dont l’un l’est stricte-

ment, est strictement négative. f(0) = 1 et $\lim_{x\to 1^{-}}f(x) =-\infty$ -.

Voici le tableau de variation de f.

La fonction f est strictement décroissante et envoie l’intervalle [0, 1[ sur l’intervalle $[-\infty, 1[$
qui contient 0, donc l’équation f(x) = 0 a une solution unique $\alpha$ .

b. f(1/2) = 3/4 - ln 2 > 0 et $f(\Beta) = -\beta^{2} 0$ ; donc d’après le théorème des valeurs
intermédiaires, a appartient à l’intervalle $]1/2, \Beta[$ .

2. Posons pour simplifer $I_{\Beta}]1/2, \Beta[$ .
f est deux fois dérivable dans [0, 1[ et $\forall x\in [0, 1[, f''(x) = -2 -\frac{ 1}{1 - x}^{2}$
Alors $\forall x\in I_{\beta},p(x) = -2x +\frac{ 1}{1 - x}$ et $2 +\frac{ 1}{1 - x}^{2}$ p et q sont dérivables sur $I_{\Beta}$ et

$\forall x\in I_{\beta},p'(x) = 2 +\frac{ 1}{1 - x}^{2}$ et $q'(x)=\frac{ 2}{1 - x}^{3}$ .

image tableau de variation
.
Ces dérivés sont positives.
Voici les tableaux de variation de p et q.
Ces tableaux montrent clairement que $\forall x\in I_{\beta},3\leq|f'(x)|$ et $|f'(x)|\leq e^{2}+2$

ce qui entraine bien

$\forall y\in I_{\beta},\frac{|f''(x)|}{|f'(y)|}\leq\frac{e^{2}+2}{3}=M$

3. a. On peut procéder à une IPP en posant u = ln(1-x) et v = 1-x, il vient u' $\frac{1}{1-x}$ et v' = -1 puis

$\int^{t}_{\alpha}ln(1 - x) dx=-\int^{t}_{\alpha}uv^{\prime} dx=[uv]^{t}_{\alpha}+\int^{t}_{\alpha}u^{\prime}v dx=\[-x-(1-x)ln(1-x)\]^{t}_{\alpha}$

Il est probable que le candidat fasse le changement de variable 1 - x = u pour se ramener $\int ln udu=ulnu-u$ . Il peut aussi faire une IPP en posant u = ln(1 - x) et v'= 1 et s’il choisit v = x, il devra trouver une primitive de $\frac{x}{1-x}$ en procédant à une réduction en élèments simples

$\int^{t}_{\alpha}f(x) dx=-\int^{t}_{\alpha}(1-x^{2}) dx+\int^{t}_{\alpha}+\int^{t}_{\alpha}ln(1 - x) dx$ . Donc

$\int^{t}_{\alpha}f(x) dx=\phi(t)-\phi(\alpha)$ avec $\phi(x)=\frac{1}{3}x^{2}-(1-x)ln(1-x)$

Lorsque t tend vers $1^{-}$ , (1- t) ln(1- t) a pour limite 0, donc

$\lim_{t\mapsto 1^{-}}\int^{t}_{\alpha}f(x) dx=P(\alpha)$ avec $P(x)=\frac{2}{3}x^{3}+x^{2}+x-\frac{4}{3}$

Partie B

1. a. La tangente en A à $C_h$ a pour équation y = h'(a)(x - a) + h(a). l’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses a pour ordonnée 0, son abscisse x est donc telle qu
h'(a)(x - a) + h(a) = 0 c’est à dire $x = a -\frac{h(a)}{h'(a)}=T(a)$

b. T, rapport de deux fonctions dérivables, est dérivable et $\forall x\in J,T'(x)=1-\frac{(h'(x))^{2}-h(x)h''(x)}{(h'(x))^{2}}=\frac{h(x)h''(x)}{(h'(x))^{2}}$

T' est donc positive sur J.

Mais $,T(v)=v-\frac{h(v)}{h'(v)}$ est $\leq v$ car le rapport h/h' est $\geq 0$ ; donc $T(J) = [u,T(v)]\$

Voici le tableau de variation de T.

2. a. Montrons que la suite $(x_n)$ est bien définie et contenue dans J donc bornée. Par récurrence. $x_0$ = v existe et appartient à J.

Si la propriété est vraie pour un rang n donné, c’est à dire si $(x_n)$ existe et appartient à J, alors $x_{n+1} = T(x_n)$ existe et appartient bien à J car T(J) est contenu dans J. Donc la propriété est vraie au rang suivant n + 1.

b. $\forall n\in\mathbb{N},x_{n+1} = T(x_n)=x_{n}-\frac{h(x_{n})}{h'(x_n)}$ est $\leq x_{n}$
car le rapport h/h' est $\geq 0$ ; donc la suite $(x_n)$ est décroissante.

Comme elle est minorée par u, elle converge vers un réel $l\geq u$ .

Puisque $\forall n\in\mathbb{N},x_{n+1} = T(x_n)$ on obtient par passage à la limite T(l) = l c’est à dire
$l-\frac{h(l)}{h'(l)}=l$ ou h(l)=0. Comme u est l’unique zéro de h, l = u. $\lim_{n\mapsto +\infty}x_{n}=u$ .

Partie C

1.a. G(a) = 0.

b. G(b) = 0 est équivalent à : $G(a)-G(b)-(a-b)g^{\prime}(b)-\frac{1}{2}k(a-b)^{2}$

c'est à dire $k=\frac{2}{(a-b)^{2}}\big[G(a)-G(b)-(a-b)g^{\prime}(b)\big]$ .

2.a. La fonction G satisfait aux hypothèses du théorème des accroissements finis dans l'intervalle [a,b] ; donc il existe un réel c dans l'intervalle ]a,b[ tel que $G(b)-G(a)=G^{\prime}(c)(b-a)$ c'est à dire $G^{\prime}(c)=0$ .

b. On a pour tout x dans [a,b], $G^{\prime}(x)=-(a-x)g^{\prime\prime}(x)+k(a-x)$ .

$G^{\prime}(c)=0$ est donc équivalent à $k=g^{\prime\prime}(c)$ c'est à dire

$\frac{2}{(a-b)^{2}}\big[G(a)-G(b)-(a-b)g^{\prime}(b)\big]=g^{\prime\prime}(c)$

ou $G(a)-G(b)-(a-b)g^{\prime}(b)=\frac{1}{2}(a-b)^{2}g^{\prime\prime}(c)$

enfin $G(a)=G(b)+(a-b)g^{\prime}(b)+\frac{1}{2}(a-b)^{2}g^{\prime\prime}(c)$

3.a. D'après les calculs faits dans la première partie, la fonction f satisfait bien dans l'intervalle $[\alpha,\beta]$ aux hypothèses faites sur h.

b. Pour tout entier naturel n, cette même fonction f satisfait, dans l'intervalle $[\alpha,x_n]$ , aux hypothèses faites sur g. On a donc :

$\forall n\in\mathbb{N},c_{n}\in]\alpha,x_n[$ tel que $f(\alpha)=f( x_{n})+(\alpha-x_{n})f^{\prime}( x_{n})+\frac{1}{2}(\alpha-x_{n}^{2}f^{\prime\prime}(c_{n})(\ast)$

4. Pour obtenir la relation $(x_{n+1}-\alpha)=(x_{n}-\alpha)^{2}\frac{f^{\prime\prime}( c_{x})}{2f^{\prime}( x_{n})}(\ast\ast)$

il suffit de se rappeler que $f(\alpha)=0$ et de diviser la relation $(\ast)$ par le réel non nul $f^{\prime}( x_{n})$ .

D'après la première partie, puisque $x_{n}$ et $c_{n}$ appartiennent à $I_{\beta},\frac{|f^{\prime\prime}( c_{x})|}{|f^{\prime}( x_{n})|}\leq M$ et $(\ast\ast)$ entraîne

$(x_{n+1}-\alpha)\leq\frac{M}{2}(x_{n}-\alpha)^{2}$

5. Si on pose $\forall n\in\mathbb{N},\delta_{n}=\frac{M}{2}(x_{n}-\alpha)$ , la relation $0\leq(x_{n+1}-\alpha)\leq\frac{M}{2}(x_{n}-\alpha)^{2}$ se traduit par $0\leq\delta_{n+1}\leq\delta_{n}^{2}$

Montrons que $\delta_{n}\leq\delta_{0^{2}}\leq$\frac{M}{4}$^{2n}$ . Par récurrence.

Cette propriété est vrai au rang 0 car à ce rang elle signifie $\delta_{0}\leq\delta_{0}\leq\frac{M}{4}$

Si elle est vraie pour un rang donné n c'est à dire si $\delta_{n}\leq\delta_{0^{2}}\leq$\frac{M}{4}$^{2n}$ , alors

$\delta_{n+1}\leq\delta_{n}^{2}\leq$\delta_{0^{2n}}$^{2}=\delta_{0}^{2n+1}\leq$\frac{M}{4}$^{2n+1}$

Elle est donc vraie qu rang suivant n + 1.

6. Pour tout entier naturel n on a les implications suivantes :

$x_{n}-\alpha\leq 10^{-5}\Leftrightarrow\frac{2}{M}\delta_{n}\leq 10^{-5}\Leftrightarrow\delta_{n}\leq\frac{M}{2\times 10^{5}}\Rightarrow\big(\frac{M}{4}\big)^{2n}\leq\frac{M}{2\times 10^{5}}\Leftrightarrow 2^{n}ln\frac{M}{4}\leq ln\frac{M}{2\times 10^{5}}$

$\Leftrightarrow 2^{n}\frac{ln(M/2\times 10^{5})}{ln(M/4)}$ car $M/4<\Leftrightarrow nln2\geq ln$\frac{lnM/2\times 10^{5})}{lnM-ln4)}$$

$\Leftrightarrow n\geq\frac{1}{ln2}$ $ln$\frac{lnM-ln(2\times 10^{5})}{lnM-ln4)}$\sim 5.4949$

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