2015 :

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé 1999 : Champ magnétique total

Terminale S1 et S3

2015 :

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ d’unité graphique 2 cm.

Partie A (4 points)

Soit f la fonction définie sur [0, 1[ par : $f(x) = 1 - x^{2}+ ln(1 - x)$

1. a. Etudier la fonction f et représenter graphiquement sa courbe Cf dans le repère $O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ . 0.75 pt

b. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique $\alpha$ . Vérifer que $\alpha\in [1/2, \beta]$
avec $\beta = 1 - 1/e$ . 0.75 pt

a. Soient p et q les fonctions défnis sur $[1/2, \beta]$ respectivement par :
$p(x) = |f'^{\prime}(x)|$ et $q(x) = |f^{\prime\prime}(x)|$ .
Etudier les variations de p et q et dresser leurs tableaux de variations. 0.75 pt

b. En déduire que : $\forall x,y\in [1/2,\beta ],\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{|f^{\prime}(y)|}\leq M$ avec $M=\frac{e^{2}+2}{3}$ . 0.5 pt

3. Soit t un élèment de $]\alpha, 1[$ .

a. Calculer $\int^{t}_{\alpha}ln(1 - x) dx$ . 0.5 pt

b. Calculer $\int^{t}_{\alpha}f(x) dx$ et montrer que $\lim_{t\to 1^{-}}\int^{t}_{\alpha}lf( x) dx$ où $P(\alpha)$ où P est un polynome à déterminer. 0.75 pt

Partie B (5 points)

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. Soient u et v deux réels tels que u < v.15 G 18 Bis A01

Soit h une fonction définie dans un intervalle ouvert contenant l’intervalle J = [u, v], dérivable jusqu’à l’ordre 2 et ayant u comme unique zéro dans J. On suppose que h est négative sur J ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre 2 et que $\forall x\in J,h^{\prime}(x)\neq 0$
On considére la fonction T défnie sur J par $T(x) = x - \frac{h(x)}{h^{\prime}(x)}$ .

a. Soit a un élèment de J et A le point d’abscisse a de la courbe $C_h$ représentative de h dans le repère $O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

Vérifier que T(a) est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à $C_h$ en A avec l’axe des abscisses.
Montrer que T est dérivable dans J et monotone ; dresser son tableau de variation. En déduire que $T(J)\subset J$ . 1.5 pt

On pose $x_0=v$ et pour tout entier naturel $n, x_{n+1} = T(x_n)$ .

b. Montrer que la suite $(x_{n)n\in\mathbb{N}}$ est bien définie et bornée. Vérifier qu’elle est monotone, en d´eduire qu’elle est convergente et calculer sa limite. 1.5 pt

2. Soient a et b deux réels tels que a < b.

Soit g une fonction définie sur l’intervalle [a, b] et deux fois dérivable.

Soit k un réel fixé. on considère la fonction G dénie sur [a, b] par :

$\forall x\in[a, b],G^{\prime}(x) = g(a) - g(x) - (a - x)g^{\prime}(x) - \frac{1}{2}k(a - x)^2$

a. Calculer G(a). Déterminer k pour que G(b) soit égal à 0. 1 pt. Désormais k prend cette valeur.

b. En appliquant le théorème des accroissements définis à G dans l’intervalle [a, b], montrer qu’il existe un réel c dans ]a, b[ tel que G'(c) = 0.

En déduire que : $g(a) = g(b) + (a - b)g^{\prime}(b) + \frac{1}{2}(a - b)^{2}g^{\prime\prime} (c)$ 1 pt

Partie C : Application à la fonction f. (3 points)

1. a. Démontrer que la fonction f satisfait dans l’intervalle $[\alpha,\Beta]$ , aux hypothèses faites sur la fonction h de la partie B. 0.5 pt

On considère la suite $(x_{n)n\in\mathbb{N_\ast}}$ définie par son premier terme $x_{0} =\Beta$ et pour tout entier
naturel n, $x_{n+1} = x_{n} -\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un réel $c_n$ dans $]\alpha, x_n[$ tel que $f(\alpha)=f(x_n)+(\alpha-x_n)f^{\prime}(x_n)+\frac{1}{2}(\alpha-x_n)^{2}f^{\prime\prime}(c_n)$ 0.5 pt

c. En déduire que $(x_{n+1}- \alpha) = (x_{n} -\alpha)^{2}\frac{f^{\prime\prime}(c_n)}{2f^{\prime}(x_n)}$ et $x_{n+1}- \alpha \leq\frac{M}{2}(x_{n} -\alpha)^{2}$ 0.5 pt

2. Pour tout entier naturel n on pose : $\delta_{n}=\frac{M}{2}(x_{n} -\alpha)$ .

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a :

$\delta_{n}\leq\delta_{0}^{2n}\leq$\frac{M}{4}$^{2n}$ (Remarquer que $\delta_{0}=\frac{M}{2}(\beta-\alpha)\leq\frac{M}{4})$ 0.5 pt

b. Déterminer un entier naturel n tel que $x_{n}-\alpha$ soit inférieur à $10^{-5}$ et une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-5}$ près par excès. 1 pt

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33