Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm.
Partie A (4 points)
Soit f la fonction définie sur [0, 1[ par :
1. a. Etudier la fonction f et représenter graphiquement sa courbe Cf dans le repère . 0.75 pt
b. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique . Vérifer que
avec . 0.75 pt
2.
a. Soient p et q les fonctions défnis sur respectivement par :
et .
Etudier les variations de p et q et dresser leurs tableaux de variations. 0.75 pt
b. En déduire que : avec . 0.5 pt
3. Soit t un élèment de .
a. Calculer . 0.5 pt
b. Calculer et montrer que où où P est un polynome à déterminer. 0.75 pt
Partie B (5 points)
Les questions 1. et 2. sont indépendantes.
1. Soient u et v deux réels tels que u < v.15 G 18 Bis A01
Soit h une fonction définie dans un intervalle ouvert contenant l’intervalle J = [u, v], dérivable jusqu’à l’ordre 2 et ayant u comme unique zéro dans J. On suppose que h est négative sur J ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre 2 et que
On considére la fonction T défnie sur J par .
a. Soit a un élèment de J et A le point d’abscisse a de la courbe représentative de h dans le repère
Vérifier que T(a) est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à en A avec l’axe des abscisses.
Montrer que T est dérivable dans J et monotone ; dresser son tableau de variation. En déduire que . 1.5 pt
On pose et pour tout entier naturel .
b. Montrer que la suite est bien définie et bornée. Vérifier qu’elle est monotone, en d´eduire qu’elle est convergente et calculer sa limite. 1.5 pt
2. Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit g une fonction définie sur l’intervalle [a, b] et deux fois dérivable.
Soit k un réel fixé. on considère la fonction G dénie sur [a, b] par :
a. Calculer G(a). Déterminer k pour que G(b) soit égal à 0. 1 pt. Désormais k prend cette valeur.
b. En appliquant le théorème des accroissements définis à G dans l’intervalle [a, b], montrer qu’il existe un réel c dans ]a, b[ tel que G'(c) = 0.
En déduire que : 1 pt
Partie C : Application à la fonction f. (3 points)
1. a. Démontrer que la fonction f satisfait dans l’intervalle , aux hypothèses faites sur la fonction h de la partie B. 0.5 pt
On considère la suite définie par son premier terme et pour tout entier
naturel n,
b. Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un réel dans tel que 0.5 pt
c. En déduire que et 0.5 pt
2. Pour tout entier naturel n on pose : .
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a :
(Remarquer que 0.5 pt
b. Déterminer un entier naturel n tel que soit inférieur à et une valeur approchée de à près par excès. 1 pt
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