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2015 :

Détails: Catégorie : Géométrie dans l'espace

O et A sont deux points distincts du plan euclidien orienté. (C) est le cercle de centre O et de rayon OA. M est un point de (C). On pose $\theta=\big(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}\big)$ On note B et C les points de (C) tels que $\big(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}\big)=\theta+\frac{\pi}{2}$ et $\big(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}\big)=2\theta+\pi[2\pi]$ .

1. On note A' le symétrique de A par rapport à la droite (OM). Montrer que A' et C sont symétriques par rapport à O. En déduire une construction de C. Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure. 2 × 0.25 pt

On prend OA comme unité et on pose $\big(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}\big)$ . Soit $\overrightarrow{v}$ le vecteur tel que $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ soit un repère orthonormé direct. Dans la suite le plan est supposé rapporté à ce repère.

On note z, b et c les affixes respectives des points M,B et C.

2. a. Ecrire z, b et c sous forme exponentielle puis vérifier que b = iz et c = - $z^2$ . 0.75 pt

Soit H le point d’affixe h = 1 + b + c.

b. Soit N le point d’affixe 1 + b. Construire N puis déduire une construction de H. 2 × 0.25 pt

3. Désormais on suppose que $\theta\ne\frac{\pi}{2}[\pi]$ .

a. Justifier que les points A,B et C sont distincts deux à deux.

Montrer que $\frac{z_{\overrightarrow{AH}}}{z_{\overrightarrow{CB}}}=\frac{1+iz}{1-iz}$ . Vérifier que
$\frac{1+iz}{1-iz}$ est un imaginaire pur. En déduire que H est l’orthocentre du triangle ABC. 1 pt

b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{2}-iz-1=0$ . On donnera les solutions sous forme exponentielle.

Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle ABC en fonction de b et c.

En déduire les valeurs de $\theta$ pour que H soit le centre de gravité du triangle ABC. Quelle est alors la nature du triangle ABC ? 4 × 0.25 pt

4. Vérifier que lorsque le point M décrit le cercle (C) privé des points d’affixes i et -i, le point H appartient à la courbe (H) d’équations paramétriques :

$\left\{\begin{array}{lll}x(t)&=&1 - sin t - cos 2t\\y(t)&=&cos t - sin2t\end{array}\right.$ 0.25 pt

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