2015 :

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Terminale S1S3

Sciences de la Vie et de la Terre

La reproduction chez l'homme

Corrigé épreuve 2007 : EXPLOITATION DE DOCUMENTS

Terminale S1 et S3

2015 :

Détails: Catégorie : algèbre

Soit G l’ensemble des triplets $\Gamma= (p, q, r)$ d’entiers relatifs, avec r non nul, vérifiant : $(E) : p^{2}+ q^{2}= r^{2}$

L’espace euclidien orienté est muni d’un repère orthonormé direct. On fait correspondre à tout (p, q, r) de G le point M de coordonnées (p, q, 0). Un élément (p, q, r) de $\Gamma$ est dit non trivial si p et q sont non nuls.

1. a. Montrer que T'= (3, 4, 5) et T''= (5, 12, 13) sont des éléments de G. 2 × 0.5 pt

b. Soit k un entier relatif non nul. Montrer que T = (p, q, r) est un élément de $\Gamma$ si et seulement si kT = (kp, kq, kr) est un élément de $\Gamma$ . 0.5 pt

Un élément (p, q, r) non trivial de $\Gamma$ est dit irréductible si p, q et r sont premiers entre eux.

2. Soit $T_{1}$ et $T_{2}$ deux éléments irréductibles de $\Gamma$ , $M_1$ et $M_2$ leurs points correspondants respectifs.

a. Montrer alors que le triplet $\big(|\overrightarrow{OM_{1}}.\overrightarrow{OM_{2}}|,||\overrightarrow{OM_{1}}\wedge\overrightarrow{OM_{2}}||,||\overrightarrow{OM_{1}}||\times||\overrightarrow{OM_{2}}||$ est un élèment de $\Gamma$ . 1 pt

Dans la suite, ce triplet est noté $T_{1}\ast T_{2}$ .

b. Vérifier que le triplet $T_{1}\ast T_{2}$ est trivial si et seulement si les droites $(OM_{1})$ et $(OM_{2})$ sont confondues ou perpendiculaires. 0.75 pt

c. En utilisant T'et T'', déduire de la question 2.a) trois autres solutions irréductibles de l’équation (E). 0.75 pt

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