Soit G l’ensemble des triplets d’entiers relatifs, avec r non nul, vérifiant :
L’espace euclidien orienté est muni d’un repère orthonormé direct. On fait correspondre à tout (p, q, r) de G le point M de coordonnées (p, q, 0). Un élément (p, q, r) de est dit non trivial si p et q sont non nuls.
1. a. Montrer que T'= (3, 4, 5) et T''= (5, 12, 13) sont des éléments de G. 2 × 0.5 pt
b. Soit k un entier relatif non nul. Montrer que T = (p, q, r) est un élément de si et seulement si kT = (kp, kq, kr) est un élément de . 0.5 pt
Un élément (p, q, r) non trivial de est dit irréductible si p, q et r sont premiers entre eux.
2. Soit et deux éléments irréductibles de , et leurs points correspondants respectifs.
a. Montrer alors que le triplet est un élèment de . 1 pt
Dans la suite, ce triplet est noté .
b. Vérifier que le triplet est trivial si et seulement si les droites et sont confondues ou perpendiculaires. 0.75 pt
c. En utilisant T'et T'', déduire de la question 2.a) trois autres solutions irréductibles de l’équation (E). 0.75 pt
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