2015 :

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1999 : statistique à deux variables(4 pts)

Terminale S2

2015 :

Détails: Catégorie : Algèbre

1) Soit $p (z) = z^{3} + 3z^{2} - 3z - 5 - 20i, z\in\textcolonmonetary$ .

a) Démontrer que 2 + i est une racine de p(z). (0,25 pt)

b) En déduire les solutions de l’équation p(z) = 0 dans $\textcolonmonetary$ . (01 pt)

2) Dans le plan (P) rapporté au repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v} )$ d’unité 1 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectives 2 + i, -1 – 2i et -4 + i.

a) Placer les points A, B et C puis calculer les distances AB et BC. (0,75 pt)

b) Démontrer que $arg\(\frac{|z_{C}-z_{A}|}{|z_{A}-z_B|}=(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BA})[2\pi]}$ (0,25 pt)

c) En déduire une mesure en radian de l’angle $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BA})}$ (0,25 pt)

d) Déduire de tout ce qui précède la nature du triangle ABC. (0,25 pt)

3) Soit r la rotation qui laisse invariant le point B et qui transforme A en C.

a) Montrer que l’application f associée à r est définie par : f(z) = iz – 3 – i. (0,5 pt)

b) Préciser les éléments géométriques caractéristiques de r. (0,25 pt)

4) Soit T : M(z) $\mapsto M^{\prime}(Z^{\prime})$ telle que $z^{\prime} =i\Alpha^2z+\Alpha,\alpha\in\textcolonmonetary$

a) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles T est une homothétie de rapport 2. (0,5 pt)

b) Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de T pour le nombre complexe
$\alpha$ vérifiant $|\alpha|=\sqrt{2}$ et $arg\alpha=-\frac{\pi}{4}$ (0,25 pt)

5) On considère la transformation g = roT. On suppose dans ce qui suit que $\alpha=1-1$ .

a) Montrer que l’application h associée à g est définie par : h(z) = 2iz – 2. (0,25 pt)

b) Donner les éléments géométriques caractéristiques de g. (0,5 pt)

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