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2015 :

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

A) 1) En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout réel a :

$I (\Alpha) =\int_{0}^{\Alpha}e^{t}(t+2)dt.$ (0,5 pt)

En déduire I(x). (0,25 pt)

2) Soit k une fonction dérivable sur IR. Considérons la fonction h telle que $h(x) = k(x) e^{-x},\foral x\in\mathbb{R}$ .

On se propose de déterminer la fonction h de façon à ce qu’elle vérifie les conditions suivantes, $\foral x\in\mathbb{R}$ :

$\left\{\begin{array}{l}h^{\prime}(x)+h(x)=x+2\\h(0)=2\end{array}\right.$

a) Vérifier que $k^{\prime}=(x+2)e^{x}.$ . (0,5 pt)

b) En déduire k puis h. (0,25 + 0,25 pt)

B) I) 1) Etudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction g définie par :

$g(x)=x+1+e^{-x}.$ (01,5 pt)

2) En déduire que g(x) est strictement positif. (0,25 pt)

II) Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=ln(x+1+e^{-x}).$ .

$(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé

$(O,\vec{i},\vec{j} )$ .

1) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations. (02,5 pts)

2) Pour tout x strictement positif, on note M, le point de la courbe de la fonction logarithme népérien d’abscisse x et N le point de $(C_f)$ de même abscisse.

a) Démontrer que $0<\overbar{MN}<ln$\frac{x+2}{x}$$ . (0,25 pt)

b) Quelle est la limite de $\overbar{MN}$ quand x tend vers $+\infty$ . (0,25 pt)

2) a) Déterminer l’équation de la droite de régression de Y en X. (01 pt)

3) a) Démontrer que : $f(x)=-x+ln(xe^{x}+e^{x}+1),\forall x\in\mathbb{R}.$ (0,5 pt)

b) En déduire que $(C_f)$ admet une asymptote oblique $(\Delta)$ au voisinage de $-\infty$ et
déterminer la position de $(C_f)$ par rapport à $(\Delta)$ pour x<-1. (0,25 + 0,25 pt)

4) Construire $(C_f)$ et $(\Delta)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j} )$ . (01,5 pt)

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