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Corrigé 2009 : Variable aléatoire

Détails: Catégorie : Probabilités

1. - Pour que M appartiennent à l'axe des abscisses, il faut et il suffit que la partie imaginaire de z soit nulle c'est à dire lny=0 ou y=1.Donc $p(A)=p(y=o)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

- Pour que M appartiennent à l'axe des ordonnées , il faut et il suffit que la partie réelle de z soit nulle c'est à dire lnx=0 ou x=1.Donc $p(B)=p(x=o)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

- L'évènement contraire de C est "M appartient à au moins un des axes" c'est à dire $A\cup B$ ?

- L’´événement A n B est ”M appartient `a chacun des axes” c’est à dire z = 0 ou ln x = et ln y = 0 finalement x = y = 1.

Puisque le tirage est avec remise, les événements A et B sont indépendants, donc : $p(A \cap B) = p(A)p(B) = \frac{1}{9}$ .

Par conséquent :

$p(\bar{C}) = p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A\cap B) =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{5}{9}.$

$p(C)=1-p(\bar{C}) = 1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$

- Pour que $(\vec{OM},\vec{i}$ soit égal à $-\frac{\pi}{4}$ l'angle il faut et il suffit que les coordonnées de
M soient ´egales et strictement positives c’est `a dire ln x = ln y > 0 ou x = y = e. Par conséquent, D est l’évènement ”x = y = e”.

$p(x = e) = p(y = e) = \frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ et $p(D) = \frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ et

- Pour que M appartienne au cercle trigonométrique, il faut et il suffit que OM = 1 c’est-à-dire $(ln x)^{2}+ (ln y)^{2}=1$ . Puisque x et y ne prennent que les valeurs 1, e et $\frac{1}{e}$ , ln x et ln y ne prennent que les valeurs 0, 1 et -1 ;

Les seuls couples possibles pour réaliser $(ln x)^{2}+ (ln y)^{2}=1$ sont donc

$(ln x, ln y) = (1, 0), (-1, 0), (0, 1)$ , ou $(0,-1)$

c'est -à -dire $(x,y)=(e,1),(\frac{1}{e},1),(1,e),$ ou $(1,\frac{1}{e})$ .

or $p\left((x,y)=(e,1)\right)>=p\left((x,y)=(1,e)\right)=\frac{2}{12}\times\frac{4}{1.2}=\frac{1}{18}$

$p\left((x,y)=(\frac{1}{e},1)\right)=p\left((x,y)=(1,\frac{1}{e})\right)=\frac{6}{12}\times\frac{4}{1.2}=\frac{1}{6}$

Donc $p(E)=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}=\frac{1}{6}+=\frac{1}{6}=\frac{4}{9}$

2.a. Puisque x et y ne prennent que les valeurs 1,e et $\frac{1}{e}$ lnx et lny ne prennent quelles valeurs o,1 et -1 ; les couples de coordonnées possibles sont donc :

$(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(1,-1),(-1,0),,(-1,1),(-1,-1),$

correspondant aux valeurs suivantes du couples (x,y)

$(1,1),(1,e),(1,\frac{1}{e}),(e,1),(e,e),(e,\frac{1}{e}),(\frac{1}{e},1),(\frac{1}{e},e),(\frac{1}{e},\frac{1}{e})$

Les distances OM possibles sont donc : $0,1,\sqrt{2}$

La variable aléatoire X prend les valeurs $0,1,\sqrt{2}$

$p(X=0)=p\left((x,y)=(1,1)\right)=\frac{4}{12}\frac{4}{12}=\frac{1}{9}$

$p(X=1)=p\left((x,y)=(1,e)\right)+p\left((x,y)=(e,1)\right)$

$+p\left((x,y)=(1,\frac{1}{e}))\right)+ p\left((x,y)=(\frac{1}{e},1))\right)$

$\frac{2}{12}\times\frac{4}{12}+\frac{2}{12}\times\frac{4}{12}+\frac{4}{12}\times\frac{6}{12}+\frac{4}{12}\times\frac{6}{12}=\frac{4}{9}$

$p(X=\sqrt{2})=p\left((x,y)=(e,e)\right)+\left((x,y)=(e,\frac{1}{e})\right)$

$+p\left((x,y)=(\frac{1}{e},e)\right)+ p\left((x,y)=(\frac{1}{e},\frac{1}{e})\right)$

$=\frac{2}{12}\times\frac{2}{12}+\frac{2}{12}\times\frac{6}{12}+\frac{2}{12}\times\frac{6}{12}+\frac{6}{12}\times\frac{6}{12}=\frac{4}{9}$

En résumé :

$p(X=0)=\frac{1}{9},p(X=1)=\frac{4}{9},p(X=\sqrt{2})=\frac{4}{9}$

b. La fonction de répartition de X est définie par $F(x)=p(x)<x$

Si $x\leq 0,F(x)=p(X<x)=0$

Si $0<x\leq 1,F(x)=p(X<x)=p(X=0)=\frac{1}{9}$

Si $1<x\leq \sqrt{2},F(x)=p(X<x)=p(X=0)+p(X=1)=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

Si $\sqrt{2}<x\leq ,F(x)=p(X<x)=p(x=0)+p(X=1)+p(X=\sqrt{2})=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1$

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