2014 : Problème

Vous êtes ici : Accueil

Mathématiques

géométrie

géométrie plane

1998 : Similitude directe ( 05 pts)

Terminale S1 et S3

2014 : Problème

Détails: Catégorie : Calcul intégral

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ d’unité graphique 2 cm. Dans tout le problème I désigne l’intervalle $]0,+\infty[$ .

Partie A

Soit $f_{0}$ la fonction définie sur I par $f_{0}(x)=\frac{1}{x}$ .

Pour tout entier naturel $n$ et tout $x\in I$ , on pose $f_{n+1}(x) =\frac{1}{x}\int_{1}^{x}f_{n}(t)dt$ et on note $C_{n}$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

1. a. Montrer que pour tout élément x de I , $f_{1}(x) =\frac{lnx}{x}$ . 0,75 pt

b. Etudier les variations de $f_0$ et de $f_1$ et dresser leur tableau de variations. 0,5+0,75 pt

2. Déterminer suivant les valeurs de x, les positions relatives de $C_0$ et $C_1$ . 0,75 pt

3. Construire $C_0$ et $C_1$ dans le même repère. 0,75 pt

4. Calculer l’aire du domaine plan délimité par les courbes $C_{0},C_{1}$ et les droites d’équations respectives $x = 1$ et $x = e^{2}$ . 1 pt

Partie B

Pour tout entier naturel $n$ et tout $x\in I$ , on pose $F_{n}(x) =\int_{1}^{x}\frac{f_{n}}{t}dt$

1. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n la fonction $f_n$ est dérivable sur I .0,75 pt

b. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et pour tout $x$ dans $I , f\prime _{n+1}(x) =-\frac{f_{n+1}(x)+ f_{n}(x)}{x}$ . 0,75 pt

2. a. En utilisant la question précédente, montrer que pour tout entier naturel n et pour tout x dans I , $F_{n} (x)-F_{n+1}(x) = f_{n+1}(x)$ . 0,75 pt

b. Vérifier alors que pour tout entier naturel p et tout $x\in I$ on a :

$\sum_{n=0}^{p}f_{n}(x)=f_{0}(x)+F_{0}(x)-F_{p}(x)$

3. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout $x \in I$ , $f_{n}(x)=\frac{ln^{n} x}{n! x}$ 0,75 pt

b. Démontrer que pour tout entier naturel n et tout $x \in [1,e],$ , $|f_{n}(x)|\leq\frac{1}{n!^{.} }$

En déduire que la suite $(F_{n}(e))n\in\mathbb{N}$ est convergente et calculer sa limite. 0,25+0,5 pt

c. Déduire de la question 2 b. $\lim_{p\to +\infty}\sum^{ p}_{n=0}\frac{1}{n!^{.}}$ . 1 pt

Suivant >

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33