2014 : Algégre

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Catégorie : algèbre

1. Soient a,b,c des entiers relatifs et n un entier naturel non nul.

a. Démontrer que a et b sont premiers entre eux si et seulement si a et sont premiers entre eux.    1 pt

b. En déduire que si a et b sont premiers entre eux et si a divise le produit , alors a divise c.      0,5 pt

2. On se propose dans cette question de déterminer les solutions rationnelles de l’équation suivante :

a. Démontrer que l’équation (E) admet une solution réelle unique appartenant à l’intervalle ]0,1[. 1 pt

b. En utilisant les résultats de la question 1. b. , démontrer que si (E) admet une solution rationnelle  où p et q sont des entiers premiers entre eux, alors p divise 5 et q divise 7.     1 pt

c. Résoudre l’équation (E) dans ensemble des rationnels. 0,75 pt

3. Résoudre l’équation (E) dans ensemble des nombres complexes. 0,75 pt

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