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Corrigé 2014

Détails: Catégorie : Probabilités

Une boîte contient 8 cubes indiscernables au toucher : $R_{1},R_{2},R_{2},R_{2}, V_{1}; V_{1}, V_{2}, J_{2}$
R représente la couleur rouge, V la couleur verte, J la couleur jaune, 1 et 2les numéros des couleurs.

A) Soit $(\Omega, P(\Omega), p)$ un espace probabilisé. Soient A et B deux événements de cet espace probabilisé.

A et B sont indépendants si et seulement si $p(A \cap B) = p(A)\times p(B)$

B) On choisit successivement et sans remise 2 cubes de la boîte.

1. Soient les événements A : "Obtenir des cubes de couleurs différentes" et

B : "Obtenir au plus un cube portant le numéro 2"

a) $p(A) =\frac{A^{1}_{4}\times A^{1}_{4}+A^{1}_{3}\times A^{1}_{5}+A^{1}_{1}\times A^{1}_{7}}{A^{2}_{8}}= \frac{19}{28}$

b) $p(\bar{B}) =\frac{A^{2}_{5}}{A^{2}_{8}}=\frac{5}{14}$ d’où $p(B) =\frac{9}{14}$

c) Calculons $p(A\cap B)$ et comparons-le avec $p(A) \times p(B)$

$A\cap B$ , l’événement : "Obtenir des cubes de couleurs différentes avec au plus un portant le numéro 2". Les différentes possibilités sont :

tex}(R_{1}, V_{1}), (R_{1}, V_{1}), (V_{1},R_{1}), (V_{1},R_{1}),{/tex}

$(R_{2}, V_{1}),(V_{1}, R_{2}), (R_{2},V_{1}), (V_{1},R_{2}),$

$(R_{2}, V_{1}), (V_{1}, R_{2}), (R_{2},V_{1}), (V_{1},R_{2}),$

$(R_{2}, V_{1}), (V_{1}, R_{2}), (R_{2},V_{1}), (V_{1},R_{2})$

$(R_{1}, J_{2}), (J_{2}, R_{1}),$

$(V_{1}, J_{2}), (J_{2}, V_{1}), (V_{1},J_{2}), (J_{2},V_{1}),$

$(R_{1}, V_{2}), (V_{2},R_{1}),$

Donc $p(A \cap B) =\frac{3}{7}$

Ou encore $p(A \cap B) =\frac{C^{1}_{2}\times A^{2}_{2}+C^{1}_{3}\times C^{1}_{2}+A^{2}_{2}+A^{2}_{2}+C^{1}_{2}\times A^{2}_{2}+A^{2}_{2}}{A^{2}_{8}} =\frac{3}{7}$