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2014 : Problème

Détails: Catégorie : Synthèse

PARTIE A : (03,25 points)

Soit g la fonction définie dans ]0, +8[ par : $g(x) =\frac{x}{x-1} - ln|x - 1|$ |.

1) a) Déterminer l’ensemble de définition $D_{g}$ de g. (0,5 point)

b) Calculer les limites de g aux bornes de $D_{g}$ . (0,75 point)

(Pour la limite au voisinage de 1, on pourra poser h = x – 1).

2) Déterminer g’, la fonction dérivée de g, et dresser le tableau de variations de g. (01 point)

3) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a telle que 4 < a < 5. (0,5 point)

4) Déduire de l’étude précédente le signe de g sur Dg. (0,5 point)

PARTIE B : (06,75 points)

On considère la fonction f définie par : $f(x) =\frac{ln|x - 1|}{x}$ , si $x\leq 0$

$f(x) =\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}$ , si x = 0

1) a) Vérifier que f est définie sur IR \ {1} et calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. (01 point)

b) Préciser les droites asymptotes à $C_{f}$ , la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. (0,5 point)

2) a) Etudier la continuité de f en 0. (0,5 point)

b) On admet que : $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{ln(1-x)+x}{x^{2}}=\frac{-1}{2}$

Montrer que : $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{0}=\frac{-1}{6}$ .(0,5 point)

Donner l’interprétation graphique de ces résultats. (0,5 point)

3) a) Montrer que $f(\alpha) =\frac{1}{\alpha - 1}$ (0,25 point)

b) Calculer f ’(x) sur les intervalles où f est dérivable puis dresser le tableau de variations de f. (01 point)

4) Construire $C_{f}$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{I},\vec{J})$ , unité graphique 2 cm. (01,5 point)

On pourra prendre $\alpha \approx 4,5$ .

On placera les points d’abscisses – 1 ; 0 ; 2 et 5.

5) a) Déterminer les réels a et b tels que pour tout $x\in \mathbb{R} \{-2 ;-1\}$ , on ait :

$\frac{-6x}{x^{2}+3x+2}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x+1}$ (0,25 point)

b) En déduire que :

$\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}=\frac{-12e^{-x}}{1+2e^{-x}}+\frac{6e^{-x}}{1+e^{-x}}$ (0,25 point)

c) Calculer l’aire du domaine du plan limité par $(C_{f})$ , l’axe des abscisses et les droites
d’équations respectives x = - ln 2 et x = 0. (0,5 point)

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