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Algèbre

2014 :

Terminale S2

2014 :

Détails: Catégorie : Algèbre

A) Questions de cours

1) Rappeler les formes algébrique, exponentielle et trigonométrique d’un nombre complexe z non nul. (0,75 point)

2) Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre $K(z_{0})$ , d’ angle ?. (0,5 point)

B) On donne $z_{0} = 1 - i\sqrt{3}$ .

1) Donner une écriture trigonométrique de $z_{0}$ . (0,5 point)

2) Montrer que : $z_{0}^{4}=-8+8 i\sqrt{3}$ . (0,25 point)

3) Résoudre dans C l’équation $z^{4}=1$ (0,5 point)

4) En déduire les solutions de : $(E) : z^{4}=-8+8 i\sqrt{3}$ sous la forme algébrique et sous la forme trigonométrique. (01 point)

On peut remarquer que (E) équivaut à : $\left(\frac{z}{1- i\sqrt{3}}\right)^{4}=1$

5) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , unité graphique 2 cm, placer les points A, B, C et D d’affixes respectives $z_{A} = 1 - i\sqrt{3}, z_{B} = - 1 + i\sqrt{3}, z_{C} = \sqrt{3} + i$ et $z_{D} = \sqrt{3} - i$ . (0,75 point)

6) Donner une écriture complexe de la rotation r de centre O et d’angle $\frac{\pi}{2}$ (0,5 point)

7) Vérifier que : r (A) = C ; r (C) = B et r (B) = D. (0,75 point)

8) En déduire que les points A, B, C et D sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. (0,5 point)

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