2004 : Nombres complexes, transformations et suites

Vous êtes ici : Accueil

Terminale S1S3

Soit $(U_{n})_{n\in \mathbb{N} }$ la suite géométrique de premier terme $U_{0}=4$ de raison $\frac{1}{2}$

Soit $(V_{n})_{n\in \mathbb{N} }$ la suite arithmétique de premier terme $V_{0}=\frac{\pi}{4}$ et de
raison $\frac{\pi}{2}.$

Pour tout entier naturel n, on note $z_{n}$ le nombre complexe de module $U_{n}$ et dont un argument est $V_{n}.$

1) a) Exprimer $U_{n}$ et $V_{n}$ en fonction de n.

b) En déduire $z_{n}.$

2) Démontrer que $(z_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}i$ et de premier terme $z_{o}=2\sqrt{2}+i2\sqrt{2}$

3) Soit (P) le plan complexe rapporté à un repère orthonormal directe $(O,\vec{u},\vec{v})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}.$

a) Déterminer la nature de la transformation F qui au point $M_{n}$ associe le point $M_{n+1}$ d'affixe $z_{n+1}.$

b) Donner ses éléments caractéristiques.

4) pour tout entier naturel n on pose $Z_{n}=z_{0}z_{1}z_{2}.....z_{n}.$

a) Exprimer en fonction de n un argument de $Z_{n}$ .

b) Démontrer que si n est impair alors $Z_{n}$ est réel.

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33