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Corrigé 2012 : Etude d'une bobine

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

4-1. Courbe i = f(t) :

4-2. Phénomène physique responsable du retard. Explication brève.

Il s’agit d’un phénomène d’auto-induction : lorsqu’on ferme l’interrupteur pour établir le courant électrique
dans le circuit, il se produit une variation du flux à travers la bobine, entrainant une f.e.m d’auto-induction
qui tend à s’opposer à la cause qui lui donne naissance.

4-3. Détermination graphique de l’intensité $I_0$

En régime permanent i = constante = $I_{0}$ . Graphiquement on lit $I_{0} = 10.10^{-3} A = 10 mA$ .

4-4. Equation différentielle

$u_{AB} + u_{BC} = E$

$ri + L\frac{di}{dt} + Ri = E$

$L\frac{di}{dt} + (R+r)i = E$

4-5. Expression de $I_0$ si $i = cte\Longrightarrow i = I_{0} = \frac{E}{R+r}$

Résistance de la bobine $r=\frac{E}{I_{0}}-R = \frac{4}{10.10^{-3}}-390 = 10 \Omega$

4-6. Vérification

$i= \frac{E}{R+r}\left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \Longrightarrow \frac{di}{dt}= \frac{E}{(R+r)}e^{-\frac{t}{\tau}$

$L\frac{di}{dt} + (R+r)i = E \Longrightarrow \frac{LE}{(R+r)\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+ (R+r)\frac{E}{(R+r)}- \frac{(R+r)E}{R+r}e^{-\frac{t}{\tau}} = E$

$\left[\frac{LE}{(R+r)\tau}-\frac{R+r}{R+r}\right]e^{-\frac{t}{\tau}}=0 \Longrightarrow \frac{L}{(R+r)} = 1 \Longrightarrow \tau = \frac{L}{R+r}$ $\tau=\frac{L}{R+r}$

4-6-1.

$\tau$ est la constante de temps du circuit. C’est la durée au bout de laquelle l’intensité i
vaut 63% de sa valeur en régime permanent. Elle permet de mesurer pratiquement la
durée du phénomène transitoire : on peut estimer qu’au bout de 5 $\tau$ le régime transitoire est terminé, il s’établit un régime permanent.

Détermination de $\tau$
A $t =\tau \Longrightarrow i(t)= 0,63I_{0}= 6,3.10^{-3} A \Longrightarrow \tau \approx 2,5.10^{-4} s$ (abscisse du point d’ordonnée $6,3.10^{-3}$ )

4-6-2. Inductance L
$\tau = \frac{L}{R+r} \Longrightarrow L = (R+r)\tau = 400 \times 2,5.10^{-4}=0,1$ $L=0,1H$

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