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Corrigé 2012 : Mouvements d'un fusée et de satellites

Détails: Catégorie : Mécanique

3-1.
3-1-1. Montrer que $m = m_{0} - \mu t$

De $\mu = -\frac{dm}{dt}$ on tire par intégration $m = - \mu + cte$
à t = 0 on a $m = m_{0}$ d 'où $m = - \mu t + m_{0}$

3-1-2. Calcul de $\mu$

$\mu=\frac{147,5,10^{3}}{145}=1,017.10^{3}kg.s^{-1}$

Calcul de $V_{E}$

$F = \mu V_{E} \Longrightarrow V_{E}=\frac{F}{\mu}=\frac{2445.10^{3}}{1,017.10^{3}}=2404m.s^{-1}$

3-1-3. Expression du vecteur accélération en fonction du poids et de la poussée.

Système : fusée

Référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}$
la poussée $\overrightarrow{F} = -\mu\overrightarrow{V}_E$

Théorème du centre d’inertie :
$\overrightarrow{P} + \overrightarrow{F} =m\overrightarrow{a}$

D’où
$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{P} +\overrightarrow{F} }{m}$

3-1-4. Expression de la norme de $\vec{a}$

$\vec{P}+\vec{F}=m\vec{a}$

Projection de suivant un axe vertical ascendant donne : $F – P = ma$

$\mu V_{E} - mg = ma \Longrightarrow a = \frac{\mu V_{E}}{m} - g \Longrightarrow a= \frac{\mu V_{E}}{m_{0}-\mu t} - g$

a est variable ; le mouvement n'est pas uniformément accéléré.

3-2.
3-2-1. Expressions du champ de gravitation G(h)
Par définition, la force de gravitation qui agit sur le satellite s’exprime par :

$\overrightarrow{F} =m\overrightarrow{G}=-\frac{KM_{T}m}{(R_{T}+h)^{2}}\overrightarrow{u}$ avec $\overrightarrow{u}$ vecteur unitaire centrifuge. $\Longrightarrow$ en norme $G=\frac{KM_{T}}{(R_{T}+h)^{2}}$

A l’altitude $h = 0, G=G_{0}=\frac{KM_T}{R_T^2} \Longrightarrow KM_{T} = G_{0} R_{T}^{2}$
Donc $G=G_{0} \frac{R_{T}^{2}}{(R_{T}+h)^{e}}$

3-2-2. Mouvement uniforme
Appliquons le théorème du centre d’inertie au satellite dans le référentiel géocentrique supposé
galiléen. Seule la force de gravitation agit sur le satellite $\overrightarrow{F} =m\overrightarrow{G}=m\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{F}$ est centripète donc $\overrightarrow{a}$ est centripète : dans la base de Frenet, $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}_{n} \Longrightarrow a_{T} = \frac{dv}{dt}=0 \Longrightarrow v = cste$ : le mouvement est uniforme.

3-2-3. Expressions de $V_{S}$ et $T_{S}$ respectivement vitesse et période de révolution du satellite.
$a_{N}=\frac{V_{S}^{2}}{R_{T}+h}=G=G_{0}\frac{R_{T}^2}{(R_{T}+h)^{2}} \Longrightarrow V_{S}^{2} = \frac{G_{0} R_{T}^{2}}{R_{T}+h} \Longrightarrow V_{S} = R_{T} \sqrt{\frac{G_{0}}{R_{T}+h}}$

La période $T_{S}$ est la durée d’une révolution :

$T_{S}=\frac{2\pi (R_{T}+h)}{V_{S}} \rightarrow T_{S} =\frac{2 \pi}{R_{T}}\sqrt{\frac{(R_{T}+h)^{3}}{G_{0}}}$

A.N
$V_{S} = 6,4.10^{6} \sqrt{\frac{9,8}{6,4.10^6+2.10^5}}=7,8.10^3 m.s^{-1}$

$T_{S} =\frac{2 \pi}{6,4.10^{6}}\sqrt{\frac{(6,4.10^6+2.10^{5})^3}{9,8}}=5,3.10^{3} s$

3.3.
3.3.1. Conditions à remplir par METEOSAT 8 pour être géostationnaire.
Pour qu’il soit géostationnaire, il doit tourner, dans le plan équatorial, dans le même sens que la Terre
(vers l’Est) et avec la même vitesse angulaire que celle-ci.

3-3-2. Calcul du rayon de l’orbite $R_T + h$ et de l’altitude h.

$T =\frac{2 \pi}{R_{T}}\sqrt{\frac{(R_{T}+h)^3}{G_{0}}} \Longrightarrow T^{2} =\frac{4 \pi} {R_{T}}\frac{(R_{T}+h)^{3}}{G_{o}}\Longrightarrow R_{T}+h= \sqrt[3]{\frac{T^{2}R_{T}^{2}G_{0}}{4 \pi ^{2}}}$

$h = (R_{T}+h) - R_{T}$

A.N :

$R_{T}+h =\sqrt[3]{\frac{86164^{2} \times (6,37.10^6)^{2} \times 9,8}{4 \pi ^{2}}} = 4,23.10^{7} m$

$h\approx 36 000 km$

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