2013 : Etude du mouvement d'une bille dans l'air

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Catégorie : Exercices du BAC

Dans beaucoup de moteurs, pour diminuer l’usure des pièces mécaniques, on utilise des huiles dont
l’une des caractéristiques fondamentales est la viscosité.
Dans ce qui suit, on se propose de déterminer la viscosité d’une « huile moteur ». Pour cela, on étudie la
chute verticale d’une bille en acier d’abord dans l’air puis dans l’huile. Dans les deux cas, la bille est
lâchée sans vitesse initiale à partir d’un point O du fluide pris comme origine de l’axe (OX) vertical et
orienté vers le bas et l’instant de lâcher est pris comme origine des dates t = 0.
Sur la bille s’exercent les trois forces suivantes :

- Son poids ;
- La résistance du fluide, qui est une force colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse instantanée de la bille, d’intensité , expression où est la viscosité du fluide supposée constante, V la valeur de la vitesse instantanée de la bille et r son rayon ;
- La poussée d’Archimède qui est une force verticale orientée vers le haut, d’intensité relation où est la masse volumique du fluide, le volume de la bille et g l’intensité de la pesanteur.

3.1. Etude du mouvement de la bille dans l’air.

3.1.1. Représenter les forces appliquées à la bille à une date t > 0. (0,25 point)

3.1.2. Calculer l’intensité de chacune de ces forces pour V = 5 m/s. En déduire qu’on peut négliger les intensités de et devant celle du poids. (0,5 point)
3.1.3. Etablir les équations horaires de la vitesse V(t) et de l’abscisse x(t) de la bille puis préciser la nature du mouvement de la bille dans l’air. (0,5 point)

3.1.4. Au bout d'un parcours de 50 cm depuis le point O, la bille acquiert une vitesse de 3,16 m/s.
Montrer que cette information confirme l’approximation faite à la question 3.1.2.(0,5 point).

3.2. Etude du mouvement de la bille dans l’huile

3.2.1. Les intensités de et ne sont plus négligeables devant celle du poids.
Par application du théorème du centre d’inertie, montrer que l’équation différentielle du mouvement de la bille peut s’écrire sous la forme : où C et  sont des constantes. (0,5 point)

3.2.2. Donner l’expression de C en fonction de g, (masse volumique de l’acier) et (masse
volumique de « l’huile moteur ») puis exprimer  en fonction de , r et  (viscosité de l’huile
moteur). Vérifier que .(0,75 point)

3.2.3. Au bout d’un temps suffisamment long, l’accélération de la bille s’annule. La vitesse obtenue à partir de cet instant est appelée vitesse limite de module

a) Décrire la nature du mouvement de la bille après que l’accélération s’annule puis exprimer la vitesse limite en fonction de  et C. (0,5 point)

b) On trouve expérimentalement que . Quelle valeur de  peut-on en déduire ? (0,5 point)

3.2.4. Déterminer la valeur de la viscosité de « l’huile-moteur ». (0,5 point)

Données :
Masse volumique de l’acier :
; masse volumique de l’air :

Masse volumique de l’huile moteur :  ; viscosité de l’air : 
Rayon de la bille r = 1,5 mm : Volume de la bille ;

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