Sciences Physiques Mécanique Exercices du BAC 2012 : Mouvements d'une fusée et de satellites
N.B. Les questions 3.2 et 3.3 sont indépendantes de la question 3.1.
Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage. Le premier étage qui fonctionne pendant 145 secondes est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés par du peroxyde d'azote (masse de peroxyde emportée : 147,5 tonnes). L'intensité de la force de poussée totale
est constante pendant le fonctionnement des réacteurs et vaut F = 2445 kN.
Ce lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d'altitude un satellite de 4850 kg ; il peut également placer sur une orbite géostationnaire un satellite ; comme il peut placer en orbite héliosynchrone des satellites très utiles pour des applications météorologiques.
3.1. Etude du mouvement d'ascension de la fusée.
On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre qu'on suppose galiléen.
Le champ de pesanteur est supposé uniforme dans le domaine étudié et son intensité est : . On choisit un axe Oz vertical dirigé vers le haut.
On néglige les frottements et la poussée d'Archimède dans l'air ainsi que l'action des autres planètes.
La fusée Ariane s'élève verticalement sous l'action de la force de poussée due à l'éjection des gaz.
Cette force est donnée par: , relation où
est la vitesse d'éjection des gaz par rapport à la fusée et
le débit constant des gaz qui s'exprime par :
avec - dm la masse de gaz éjectée pendant la durée dt.
3.1.1. On désigne par la masse de la fusée à la date t = 0, début de l'ascension et m la masse de la fusée à
la date t . Montrer que : . (0,5 point)
3.1.2. Calculer, à l'aide des données numériques utiles fournies en début d'énoncé, le débit des gaz et la norme
de la vitesse d'éjection des gaz. (0,5 point)
3.1.3. Appliquer le théorème du centre d'inertie à la fusée et en déduire l'expression du vecteur accélération en fonction du poids
de la fusée, de m et de la force de poussée
. (0,25 point)
3.1.4. En déduire que la norme de s'écrit
. Le mouvement de la fusée est-il uniformément accéléré ? Justifiez sans calcul. (0,5 point)
3.2. Étude du mouvement d'un satellite artificiel situé à basse altitude (h = 200 km)
On suppose que la Terre, de masse , de rayon
et de centre 0, est une sphère et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie sphérique et que le satellite peut être assimilé à un point matériel.
Le satellite artificiel S, de masse , décrit une orbite circulaire de rayon r autour de la Terre. On suppose que le satellite est soumis uniquement à la force gravitationnelle exercée par la Terre. On notera K, la constante de gravitation universelle.
3.2.1. Exprimer l'intensité du champ de gravitation terrestre G(h) en fonction de ,
,
et
puis en fonction de
,
et
(
étant l'intensité du champ de gravitation terrestre au sol). (0,5 point)
3.2.2. Montrer que le mouvement du satellite dans le référentiel géocentrique est uniforme.(0,5 point)
3.2.3. En déduire l'expression de la vitesse du satellite en fonction de
,
et
puis celle de sa période de révolution
. (0,5 point)
3.2.4. Calculer et
sachant que
; h = 200 km et
. (0,5 point)
3.3. METEOSAT 8 : un satellite géostationnaire.
Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires. Ce satellite a été lancé par ARIANE 5 le 28 août 2002. Il est opérationnel depuis le 28 janvier 2004.
Il fournit de façon continue des informations couvrant une zone circulaire représentant environ 42% de la surface de la Terre.
3.3.1. Préciser les conditions à remplir par METEOSAT 8 pour qu'il soit géostationnaire. (0,5 point)
3.3.2. En déduire, pour METEOSAT 8, la valeur du rayon de son orbite puis celle de son altitude h. (0,75 point)
Données: ;
;
;
.
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