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Corrigé 2011 : Etude de circuits RL, RC, et RLC

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

5.1.

5.1.1. On a $i = \frac{u_r}{R} \rightarrow$ les variations de i(t) sont proportionnelles à celles de $u_{R}$ $\rightarrow$ les oscillagrammes visualisent les variations de l'intensité au facteur $\frac{1}{R}$ près.

5.1.2. Oscillogramme a i est non nulle si K fermé, puis i diminue jusqu'à s'annuler. Ce graphe correspond au schéma 1 car l'équation électrique de ce circuit s'écrit :

$E = u_{AB}(t) + u_{R}(t)\rightarrow E = u_{AB}(t) + Ri(t)$

à t = 0 on a $u_{AB}(0) = 0$ d'où $i(0) = \frac{E}{R} \neq 0$

Par ailleurs i(t) = $\frac{dq}{dt} = C\frac{du_{AB}}{dt} \rightarrow$ à la fin de la charge u $_{AB}$ = E = cte et i = 0

Oscillogramme b

i est nulle puis augmente constante. On observe un retard à l'établissement du courant caractéristique d'un dipôle R, L. L'oscillogramme b correspond au schéma 2.

5.1.2.

5.1.2.1. L'énergie initialement emmagasinée dans le condensateur.

A la fin de la charge du condensateur (schéma 1) on a : $u_C = E \rightarrow W_0 = \frac{1}{2}Cu^2_C = \frac{1}{2}CE^2$

5.1.2.2. Les échanges d'énergie

Initialement toute l'énergie électrique est emmagasinée dans le condensateur. Celui ci se décharge dès que l'interrupteur est fermé ; une partie de son énergie est progressivement emmagasinée sous forme magnétique au niveau de la bobine, une autre est dissipée dans le conducteur ohmique sous forme d'effet Joule.

Quand le condensateur finit de se décharger, c'est au tour de la bobine de restituer l'énergie qu'elle a emmagasinée. Le phénomène se poursuit jusqu'à ce que l'énergie initialement emmagasinée dans le condensateur soit complètement dissipée par effet Joule.

Au bout d'un temps t suffisamment grand i(t) $\rightarrow$ 0 car toute l'énergie est dissipée sous forme d'effet Joule.

5.2.

5.2.1. Schéma du circuit :

5.2.2. Les deux voies ont même sensibilité.

Comme $Z_{circuit} > Z_R \rightarrow \frac{U_G}{I} > \frac{U_R}{I} \rightarrow U_G > U_R$ où $U_{G$ et $U_{R$ sont efficaces aux bornes de G et R $\rightarrow U_{mG} > U_{Rm}\rightarrow$ la courbe 1 correspond à la tension $u_{2}$ (t) aux bornes du générateur donc à la voie $Y_{2}$ La courbe 2 correspond à la tension $u_{1}(t)$ aux bornes du conducteur ohmique, donc à la voie $Y_{1}$ .

5.2.3. Déphasage $\phi$ de la tension $u_{2}$ (t) par rapport à la tension $u_{1}$ (t).

Le décalage horaire est $\theta$ = 0,75k si k est le temps de balayage et la période est T = 5k

alors $\frac{\theta}{T} = \frac{0,75}{5} \rightarrow \theta = \frac{0,75}{5}T$

Or $\left|\phi\right| = \omega \theta \rightarrow \left|\phi\right| = \frac{2\pi}{T} \times \frac{0,75}{5}T \rightarrow \phi = 0,3 \pi$ car $u_2$ (t) est en avance sur i(t) $\rightarrow i(t) = I\sqrt{2}cos\left(2\pi Nt - \phi \right) = I\sqrt{2}cos\left(2\pi Nt - 0,3\pi \right)$

Remarque : On pourrait exprimer I en fonction de U.

On a $I = \frac{U_R}{R}$

Des oscillogrammes, on tire $\frac{U_m(R)}{U_m(G)} = \frac{2}{2,75} \rightarrow \frac{U_R}{U} = \frac{2}{2,75} \rightarrow I = \frac{2}{2,75}\frac{U}{R} = 0,72 \frac{U}{R}$

d'où $i = 0,72 \sqrt{2} \frac{U}{R}cos(2\pi Nt - 0,3\pi)$

5.3.

5.3.1. Expression de $P_{0}$

A la résonance d'intensité $(Z_{maximale} = R ; \phi = 0 et I = \frac{U}{R}$ )

$P_0 = UIcos\phi = UI = \frac{U^2}{R}$ P est maximale car cos $\phi$ = 1

$P_0 = \frac{U^2}{R}$

5.3.2. A la résonance i et u $_G$ sont en phase : $\phi$ = 0.

On peut poser $u_2(t)=U\sqrt{2}cos\omega_0 t$ et $i(t)=I\sqrt{2}cos\omega_0 t$

$W_L = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}L \times 2I^2cos^2\omega_0 t = LI^2cos^2\omega_0 t$

$W_C = \frac{1}{2}Cu^{2}_{C}$

et $u_C = U_C\sqrt{2}cos(\omega_0 t - \frac{\pi}{2}) \rightarrow u_C = \frac{I}{C\omega_0}\sqrt{2}sin\omega_0 t$

soit $W_C = \frac{I^2}{C\omega_0^2}sin^2\omega_0 t$

Comme $LC\omega_0^2 = 1 \rightarrow \frac{1}{C\omega_0^2} = L \rightarrow W_C = LI^2sin^2\omega_0 t$

$W_t = W_L + W_C = LI^2cos^2\omega_0 t + LI^2sin^2\omega_0 t = LI^2$

Or $I = \frac{U}{R} \rightarrow W_t = \frac{LU^2}{R^2} = cte$

A la résonance, l'énergie emmagasinée dans le circuit reste constante ; par conséquent l'énergie reçue à chaque instant par le dipôle (R, L, C) est donc entièrement transformée en chaleur par effet Joule dans le conducteur ohmique.

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