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Corrigé 2011 : Mouvement d'un véhicule sur une piste

Détails: Catégorie : Mécanique

4.1:

4.1.1: V = kt $\rightarrow$ a = $\frac{dv}{dt}$ = k = cte par ailleurs le mouvement est rectiligne $\rightarrow$ mouvement rectiligne uniformément varié.

Valeur de a : $a = \frac{v^{2}}{2x} \rightarrow a = 0,25 m.s^{-2}$

4.1.2 : $x = \frac{1}{2}at^2 \rightarrow x = 0,125t^2$ avec un choix convenable du repère X'OX et de l'origine des temps.

4.1.3 : $t=\sqrt{\frac{x}{0,125}} \rightarrow t = 20 s$

4.1.4:

Système : véhicule + sportif

Bilan des forces : $\vec{P}$ , $\vec{R}$ , $\vec{F}$ , $\vec{f}$

Théorème du centre d'inertie : $\vec{P} + \vec{R} + \vec{F} + \vec{f} = m\vec{a}$

Projection suivant X'X $\rightarrow$ F - f = ma $\rightarrow$ 4f - f = ma $\rightarrow f = \frac{ma}{3}$ = 7,5 N

4.2:

4.2.1: Distance FA

Théorème de l'énergie cinétique entre F et A.

$E_{C}(A) - E_{C}(F) = \sum W_{\vec{f}}\rightarrow 0 - \frac{1}{2}mv^{2} = \sum W = -f\times l {tex}\rightarrow l = \frac{mv^{2}}{2f}$

A.N : l = 150 m

4.2.2 : Durée totale du parcours

$\Delta t = t_1 + t_2 + t_3$

Durée du freinage $t_3$

Durant le freinage $\vec{F} = \vec{f} = \vec{cte} \rightarrow$ mouvement rectiligne uniformément décéléré

$\rightarrow v^2(A) - v^2(F) = 2a'(x_A - x_F) \rightarrow 0 - v^2(F) = 2a'l \rightarrow a' = - \frac{v^2(F)}{2l} \rightarrow v = a't_3 + v_0 = 0$

$\rightarrow t_3 = \frac{2l}{v(F)} \rightarrow t_3 = 60 s$

Durée de la phase uniforme EF

$t_2 = \frac{l'}{v} \rightarrow t_2 = \frac{1100}{5} = 220 s$

Durée totale du parcours :

$\Delta$ t = 20 + 220 + 60 = 300 s soit $\Delta$ t = 5 min.

4.3.

4.3.1. Théorème de l'énergie cinétique entre A et M

$\frac{1}{2}mv^2 - 0 = mgr(1 - cos\theta ) \rightarrow v^2 = 2gr(1 - cos\theta) \rightarrow v = \sqrt{2gr(1 - cos \theta)}$

Théorème du centre d'inertie appliqué au solide en M : $\vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}$

Projection suivant $\vec{n} \rightarrow Pcos\theta - R = ma_n = m\frac{v^2}{r} \rightarrow R = mg(3cos\theta - 2)$

4.3.2. Valeur de $\theta_1$

Le véhicule quitte la piste si R = 0 $\rightarrow cos \theta_1 = \frac{2}{3} \rightarrow \theta_1 = 48Â°$

4.3.3. Théorème du centre d'inertie $\rightarrow \vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}$

le véhicule quitte la piste $\rightarrow \vec{R} = \vec{0} \rightarrow m\vec{g} = m\vec{a} \rightarrow \vec{g} = \vec{a}$

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