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Corrigé 2013 : Etude d'un condensateur

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

4.1. Etude de la charge du condensateur :

4.1.1. Expression de q en fonction du temps t :

$i=\frac{dq}{dt}\Longrightarrow dq=idt;\int{dq}=\int{idt}$ or $i=I=cste\Longrightarrow q=I.t+cste$ à $t=0q=0\Longrightarrow cste=0$ on tire $q=I.t$

4.1.2. Déduction par exploitation graphique :

a) La capacité C du condensateur : Le graphe implique $q =2,25.10^{-4}.U_{AB}$ et la théorie: $q = C. U_{AB}$ donc $C=225.10^{-6}F$ .

b) Date à laquelle $U_{AB}=1,8 V$ :

Si $U_{AB}=1,80V q=400.10^{-6}$ or $q=I.t\Longrightarrow t=\frac{a}{I}A.N:t=\frac{400.10^{-6}}{17.10^{-6}}=23,5s. t= 23,5.s$

4.2. Etude de la décharge du condensateur :

4.2.1. Equation différentielle

$u_{R}+u_{AB}\Longrightarrow Ri+u_{AB}=0$

$i\frac{dq}{dt}{tex} or{tex}C_{AB}\Longrightarrow i=C.\frac{du_{AB}}{dt}\Longrightarrow RC.\frac{du_{AB}}{dt}+u_{AB}=0$

Cette équation est de la forme $\frac{1}{\beta}\frac{du_{AB}}{dt}+u_{AB}=0$ avec $\beta=\frac{1}{RC}$

4.2.2. La constante $\frac{1}{\beta}=RC$ est appelée constante de temps. Elle caractérise la durée de la décharge du condensateur.

4.2.3.
4.2.3.1. La valeur de $\alpha$ :

$u_{AB}=\alpha .e^{-\beta}$ à $t=0 u_{AB}=3,85V\Longrightarrow3,85=\alpha .e^{0}\Longrightarrow\alpha =3,85V$

Ebauche de la courbe $u_{AB}= f(t)$ : ci-contre

4.2.3.2. Expression et calcul de l’énergie :

$E_{0}=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}$ $E_{0}=\frac{1}{2}.225.10^{-6}.3,85^{-2}=1,67.10^{-3}J$

4.2.3.3. Puissance moyenne : $P_{m}=\frac{E_{0}}{\Delta t}$ $A.N:P_{m}=\frac{1,67.10^{-3}}{0,1.10^{-3}}=16,7W$ $P_{m}=16,7W$

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