Corrigé 2013 : Etude du mouvement d'une bille dans l'air

Vous êtes ici : Accueil

Mathématiques

Probabilité

2014 : Probabilité

Terminale S1 et S3

Corrigé 2013 : Etude du mouvement d'une bille dans l'air

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1. Etude du mouvement de la bille dans l’air :

3.1.1. Représentation des forces : schéma ci-contre

3.1.2. Calcul des intensités des forces :

$P=mg=\rho_{ac}V_{B}g=\rho_{ac}\frac{4\pi.r^{3}}{3}g=7,8.10^{3}.\frac{4\pi.(1,5.10^{-3})^{3}}.10=1,1.10^{-3}N$

$F=\rho_{0}V_{B}g=\rho_{0}\frac{4\pi.r^{3}}{3}g=1,3.\frac{4\pi.(1,5.10^{-3})^{3}}.10=1,83.10^{-7}N$

$f=6\pi_{(air)}.rV=6\pi.1,85.10^{-5}.1,5.10^{-3}.5=2,61.10^{-6}NC$

d'où $F<<P$ et $f<<P$ on peut négliger les intensités de ces forces devant celle du poids.

3.1.3. Equations horaires x(t) et v(t) :

$\vec{P}=\vec{ma}\Longrightarrow\vec{mg}=\vec{ma}\Longrightarrow=\vec{a} =\vec{g}=cste MRUV} :$ $\left\{ \begin{array}{l} V_{x}=a_{x}t+V_{ox} \\ x=\frac{1}{2}a_{x}t^{2}+V_{ox}t+x_{0} \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} V_{x}=gt \\ x=\frac{1}{2}a_{x}t^{2} \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} V_{x}=10t \\ x=5t^{2} \end{array} \right.$

le mouvement est rectiligne de direction verticale et uniformément accéléré.

3.1.4. Montrons les informations données confirment l’approximation en 3.1.2 :

$MRUV:2a_{x}(x-0)=V^{2}-0\Longrightarrow a_{x}=\frac{v^{2}}{2x}=\frac{3,16^{2}}{2.0.5}=9,986\approx 10m.s^{-2}$

$a_{x}\approx g\Longrightarrow\vec{a}=\vec{g}\Longrightarrow\vec{m_{a}}\approx\vec{mg}\Longrightarrow\vec{P}\approx\vec{m_{a}}\sum\vec{F}_{ext}\approx\vec{P}$ Toutes les forces autres que le poids ont été négligées.

3.2. Etude du mouvement dans l’huile

3.2.1. Montrons que l’équation différentielle peut se mettre sous la forme : $\frac{dV}{dt}+\frac{1}{\tau}V=C$

$T.C.I:\vec{P}+\vec{F}+\vec{f}=m.\vec{a}$ Projetons suivant l’axe ox : $P-F-f=m.a_{x}\Longrightarrow mg-\rho_{h}V_{B}g-6\pi.rV=m\frac{dV}{dt}$

$\rho_{ac}V_{B.}g-\rho_{h}V_{B}g-6\pi\eta.r.V=\rho_{ac}V_{B}\frac{dV}{dt}\Longrightarrow\frac{dV}{dt}+\frac{6\pi.\eta. r}{\rho_{ac}\frac{4\pi.r^{3}}{3}}.V=\frac{(\rho_{ac}-\rho_{h})\frac{4\pi.r^{3}}{3}.g}{\rho_{ac}\frac{4\pi.r^{3}}{3}}\Longrightarrow\frac{dV}{dt}+\frac{9\eta}{2\rho_{ac}r^{2}}V=\left(1-\frac{p_{h}}{\rho_{ac}}\right)g$

3.2.2. L’expression des constantes C et $\tau$ :

$\frac{dV}{dt}+\frac{1}{\tau}$ et $\frac{dV}{dt}+\frac{9\eta}{2\rho_{ac}r^{2}}V=\left(1-\frac{P_{h}}{\rho_{ac}}\right)g$

Par identification $C=\left(1-\frac{P_{h}}{\rho_{ac}}\right)g$ et $\tau=\frac{2\rho_{ac}r^{2}}{9\eta}$ $AN:c=8,4m.s^{-2}$

3.2.3.

a) Nature du mouvement si a=0 : le mouvement sera rectiligne uniforme car la vitesse est maintenant constante et que la trajectoire est rectiligne.

$\frac{dV}{dt}+\frac{1}{\tau}V=C$ si a=0 $\Longrightarrow\frac{dV}{dt}=0\Longrightarrow\frac{1}{\tau}V=C\Longrightarrow V_{lim}=C.\tau$

b) Déduction de $\tau$ $\tau=\frac{lim}{C}$ $A.N:\tau=\frac{4,2.10^{-2}}{8,4}=0,5.10^{-2}s$ $\tau=0,5.10^{-2}s$

3.2.4. Détermination de la valeur de la viscosité :

$\tau=\frac{2P_{ac}r^{2}}{9\eta}\Longrightarrow\eta=\frac{2P_{ac}r^{2}}{9\tau}$

$A.N:\eta=\frac{2.7,8.10^{3}.(1,5.10^{-3})^{2}}{9.0,5.10^{-2}}=7,8.10{-1}$

$\eta=7,8.10^{-1} S.I$

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33