Corrigé 2008 : Détermination de la masse d'une planète

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Solide dans l’espace

2005 : Tétraèdre

Terminale S1 et S3

Corrigé 2008 : Détermination de la masse d'une planète

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1.

3.1. Un référentiel géocentrique a pour origine le centre de la terre et comprend trois axes orientés vers trois étoiles lointaines. Par analogie le référentiel « Uranocentrique » a pour origine le centre d’Uranus et comprend trois axes orientés vers trois étoiles lointaines. (0,50 pt)

3.1.2.
- Référentiel uranocentrique : galiléen
- Système : satellite
- Forces appliquées : force gravitationnelle $\vec{F} = m\vec{g}$
- On applique la deuxième loi de Newton. $\vec{F} = m\vec{a}$

D’où l’on tire $\vec{a} = \frac{GM\vec{u}}{r^2}$ d’où $\vec{a}$ est centripète ; par conséquent = $a_\tau = \frac{dV}{dt} = 0$
Impliquant que V = constante ; le mouvement est uniforme (0,75 pt)

3.1.3. T est la durée d’un tour ; d’où $t = \frac{2\pi r}{V}$ et $V = \frac{2\pi r}{T}$ Etablir l’expression de la vitesse V du centre d’inertie du satellite en fonction du rayon r de sa trajectoire et de sa période T de révolution. (0,25 pt)

3.1.4. On trouve pour le satellite Umbriel. $V = 4,7.10^2 m.s^-1$ . (0,25 pt)

3.2.

3.2.1. Méthode graphique.

a) { $a = a_n = \frac{V^2}{r}= \frac{GM}{r^2}$ d’où $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ (0,25 pt)

b) De l’expression précédente on tire : $V^2 = \frac{GM}{r}$ d’où $V^2$ est une fonction linéaire de $\frac{1}{r}$ , ce qui en adéquation avec la courbe $V^2 = f(\frac{1}{r} )$ donnée en annexe qui est une droite passant par l’origine et dont l’équation s’écrit : $V^2 = k\frac{1}{r}$ La constante k est le coefficient directeur de la droite.

$\frac{\Delta(V^2)}{\Delta(1/r)}=6,1.10^15$ >
Par identification on a : $GM = k$ ; d’où $M = \frac{k}{G}; AN : M = 9. 10^25 kg$ . (0,50 pt)

3.2.2. Utilisation de la troisième loi de Kepler
a) On a $T =\frac{2\pi r}{V}$ et $V=\sqrt{\frac{GM}{r}$ ; d’où l’on tire : $\frac{T^2}{r^3}\frac{4\pi^2}{GM}$ (0,50 pt)
b) On calcule $\frac{T^2}{r^3}$ pour les différents satellites. On obtient :