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Corrigé 2007 : Hydrogénoïde

Détails: Catégorie : Physique atomique

5.1. Un électron unique gravitant autour d’un noyau de numéro atomique Z sur le niveau n possède l’énergie :
$E_{n}=-\frac{E_{0}Z^{2}}{n^{2}}$

5.1.1. Nature de la transition électronique
Lorsque qu’un électron passe d’un niveau d’énergie $E_{n}$ à un niveau inférieur d’énergie $E_{p}$ , il y’a émission de photon. L’énergie diminue car la variation de l’énergie $\Delta E = E_{p} - E_{n} < 0$ .

5.1.2. Expression de la longueur d’onde
la variation d'énergie lors de la transition $\Delta E=h ν_{n,p}; ν_{n,p}$ étant la fréquence d'émissiondu photon.
$\lambda_{n,p}=\frac{C}{ν_{n,p}}\Longrightarrow\Delta E = E_{n} - E_{p}= h\frac{C}{\lambda_{n,p}}\Longrightarrow-\frac{E_{0} Z^{2}}{n^2}} +\frac{E_{0} Z^{2}}{p^2}} = E_{0 }Z^{2}\left(\frac{n^{2}-p^{2}}{n^{2} p^{2}}\right)= h\frac{C}{\lambda_{n,p}}$

$\lambda_{n,p}=\frac{hC}{E_{0} Z^{2}}\left(\frac{n^{2} p^{2}}{n^{2} - p^{2}} \right)$

5.2.
$\lambda_{n,p}=\frac{1}{R}\left(\frac{n^{2} p^{2}}{(n^{2} - p^{2}}\right)$

5.2.1. Expression de la constante de Rydberg R

$\frac{1}{R}=\frac{hC}{E_{0} Z^{2}}\Longrightarrow R= \frac{E_{0} Z^{2}}{hC}$

Application numérique $R=\frac{13,6\times 1,6.10^{-19}}{6,62.10^{-34}\times 3.10^{8}} Z^{2}=1,09.10^{7}\times Z^{2}$

- Pour l’atome d’hydrogène $H : Z=1\Longrightarrow R=1,09.10^{7} m^{-1}Z=2\ Longrightarrow R=1,09.10^{7}\times 4=4,36.10^{7} m^{-1}$
- Pour l’atome $Li^{2+}$ : $Z=3\longrightarrow R=1,09.10^{7}\times 9=9,81.10^{7} m^{-1}$

5.3. L’écart ∆λ entre la plus grande et la plus courte des longueurs d’onde de la série de Balmer
La plus grande longueur d’onde $\lambda_{1}$ est obtenue lors de la transition de n = 3 à p = 2 :

$\lambda_{1}=\frac{1}{R}\left(\frac{3^{2}2^{2}}{3^{2}2^{2}}\right)=\frac{36}{1,09.10^{7}\times 5}=6,60.10^{-7}m=0,66\mu m$

La plus courte longueur d’onde $\lambda_{2}$ est obtenue lors de la transition de n ->∞ à p = 2 :
$\lambda_{1}=\frac{1}{R}\left(\frac{3^{2}}2^{2}}{3^{2}}-2^{2}}\right)=\frac{36}{1,09.10{^7}\times 5}=0,66\mu m$

La plus courte longueur d'onde $lambda_{2}$ est obtenue lors de la transition de $n\to\infty$ à p= 2 :

$\lambda_{2}=\frac{1}{R}\left({\frac{1}{\frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{\infty^{2}}\right)\Longrightarrow \lambda_{2}=\frac{1}{R}p^{2}}=\frac{4}{1,09.10{^7}}=3,67.10^{-7}m=0,367\mu{m}$

$\Delta=\lambda_{1}-\lambda_{2}=6,60.10^{-7}-3,367.10^{-7}=2,93.10^{-7}m=0,293\mu{m}$

5.4. Energie d’ionisation
Elle est obtenue pour une transition électronique de l’état fondamental p = 1 vers l’infini n ->∞
$E_{i}=E_{0}Z^{2}\left(\frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$ si p = 1 et $n\to\infty$ alors $<span>E_{i}=E_{0}Z^{2}$

- Pour l'atome d'hydorgène H: $Z=1\Longrightarrow E_{i}=E_{0}=13,6 eV$

- Pour l'ion ${He^{+}$ : $Z=2\Longrightarrow E_{i}=E_{0}=13,6\times 4=54,4 eV$

- Pour l'atome ${li^{2+}$ : $Z=3\Longrightarrow E_{i}=E_{0}\times 9=13,6\times 9=122,4 eV$

5.5.
5.5.1. Les photons susceptibles d’être absorbés
La transition nécessitant la plus faible énergie s’effectue de p=1 à n = 2. L’énergie correspondante est :
$E_{min}=E_{0}Z^{2}\left(1-\frac{1}{4}\right)=13,6\times 1\times\frac{3}{4}=10,2 eV$
On doit envoyer sur les atomes d’hydrogène pris à l’état fondamental des photons d’énergie supérieur ou égale à Emin pour avoir une transition. Les énergies correspondantes sont : 10,2 eV et 14 eV.

5.5.2. Vitesse d’éjection
L’énergie absorbée $(E_{a} =14 eV)$ est supérieure à l’énergie d’ionisation $(E_{i} = 13,6 eV)$ . Une partie de cette énergie (les 13,6 eV) permettent l’ionisation. L’électron utilise l’excédent d’énergie sous forme d’énergie cinétique pour s’éjecter

$E_{c}=\frac{1}{2}mv^{2}=E_{a}-E_{i}\Longrightarow v=\sqrt{\frac{2(E_{a}-E_{i})}{m}$

Application numérique :

$v=\sqrt{\frac{2(14-13,6)\times1,6.10^{19}}{9,1.10^{-31}}}}=3,75.10^{5}m/s$

La vitesse est inferieure à $\frac{3.10^{8}}{10}=3.10^{7}m/s$ . L’électron n’est pas relativiste.

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