2010: Etude d'un circuit LC

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Catégorie : Exercices du BAC

La bobine et le condensateur sont deux composants électriques courants, utilisés dans les circuits les plus divers : microprocesseurs d’ordinateurs, horloges électroniques, émetteurs et récepteurs radios et télé, amplificateurs, etc.

L’objectif visé dans cet exercice est d’étudier la charge d’un condensateur et sa décharge à travers une bobine.

4.1. Un condensateur de capacité C =1 μF, initialement déchargé est placé en série avec un conducteur ohmique de résistance R = 10 kΩ, un interrupteur K et un générateur G de résistance négligeable qui maintient entre ses bornes une tension constante U₀ = 5 V.

                                                                                                              Le circuit est schématisé ci-contre (figure1).

L’interrupteur K est fermé à la date t = 0.

Le sens d’orientation choisi est indiqué sur le schéma et q désigne la charge de l’armature liée à A.

Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension u_AB(t) au cours de cette étape de charge du condensateur.                   (0,5 pt)

4.2. Vérifier que est solution de l’équation différentielle précédemment établie, relation où  est une constante que l’on exprimera en fonction de R et C.  Calculer .          (01 pt)

4.3. Afin de vérifier expérimentalement  la loi de variation de u_AB(t) et de déterminer la valeur de   , on relève la  valeur de u_AB à différentes dates t. Ce qui a permis de tracer la courbe u_AB = f(t) jointe en annexe (page 4). 

4.3.1. L’allure du graphe obtenu est-il en accord avec l’expression de u_AB(t) donnée en 4.2 ? (0,5 pt)

4.3.2.  En utilisant la courbe, déterminer la valeur de (il n’est pas exigé de rendre la courbe avec la feuille de copie ; on pourra simplement expliciter la méthode utilisée pour déterminer .

Comparer le résultat  à la valeur théorique trouvée en 4.2 et conclure.                                    (0,75 pt)

4.4.  Exprimer l’intensité instantanée du courant électrique i(t) en fonction de  , dérivée première de u_AB(t) en fonction du temps. En déduire l’expression de i(t)  en fonction de U₀, R, C et t.

Représenter l’allure de la courbe i(t) = f(t).                        (01 pt)

4.5.  A la date t = 0, le condensateur précédent, chargé sous la tension U₀ = 5V, est déchargé à travers une bobine d’inductance L et de résistance négligeable (figure 2).

4.5.1.  Etablir l’équation différentielle traduisant les variations de

la charge  q(t) du condensateur.                         (0,5 pt)

4.5.2.  En déduire alors l’expression littérale puis numérique de

la charge du condensateur en fonction du temps.

Calculer la période des oscillations électriques du circuit.

On prendra L = 10 mH                                              (0,75 pt)

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