2008 : Détermination de la masse d'une planète

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Catégorie : Exercices du BAC

Uranus est la 7^e planète du système solaire. Elle a été découverte en 1781 par William Herechelle. Elle fut mieux connue par l’homme grâce à son survol, en 1986, par la sonde Voyager II. Uranus met 84 ans pour faire un tour complet autour du soleil. Les cinq plus gros satellites de la planète Uranus ont été découverts grâce aux observations depuis la Terre entre 1787 et 1948. Il s’agit de : Miranda, Ariel, Umbriel, Titania et Obéron.

Le tableau qui suit précise le rayon de la trajectoire de l’orbite décrite par chaque satellite autour d’Uranus et la période de révolution (durée d’un tour autour d’Uranus) :

Dans tout le problème, on suppose que la répartition de masse des astres est à symétrie sphérique. Les mouvements des différents satellites d’Uranus sont étudiés dans le référentiel « Uranocentrique » supposé galiléen. On donne : G = 6,67.10^-11 SI. On prendra 1 jour = 86400 s.

3.1. On se propose de déterminer la vitesse d’un satellite d’Uranus. On admet que le centre d’inertie du satellite effectue un mouvement circulaire dans le référentiel « Uranocentrique ».

3.1.1. Rappeler la définition d’un référentiel géocentrique. Définir, par analogie, le référentiel « Uranocentrique ».                                                                                                                (0,50 pt)

3.1.2. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.                                                 (0,75 pt)

3.1.3. Etablir l’expression de la vitesse V du centre d’inertie du satellite en fonction du rayon r de sa trajectoire et de sa période T de révolution.                                                                           (0,25 pt)

3.1.4. Faire l’application numérique pour le satellite Umbriel.                                                   (0,25 pt)

3.2. Dans la suite, on cherche à déterminer la masse M d’Uranus par deux méthodes.

3.2.1.   Méthode graphique.

La courbe de la fonction) où V est la vitesse du satellite dans le référentiel « Uranocentrique » et r le rayon de l’orbite autour d’Uranus est représentée à la page 4.

a) Etablir l’expression de la vitesse V en  fonction de G , M et r.                                          (0,25 pt)

b) En vous aidant de la courbe, déterminer la masse d’Uranus (il n’est pas demandé de rendre la courbe avec la copie ; on expliquera seulement le mode d’exploitation).                              (0,50 pt)

3.2.2.  Utilisation de la troisième loi de Kepler

a) Etablir la 3^e loi de Kepler                                                                                  (0,50 pt)

b)  En utilisant les informations données sur les satellites, montrer, aux erreurs d’expériences près, que le rapport     est une constante dont on donnera la valeur numérique.                    (0,50pt)

c) En déduire la masse d’Uranus et comparer le résultat avec celui obtenu par la méthode graphique.

(0,50 pt)

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