Partie A
1. Un réel appartient à l'ensemble de ssi et ; donc
Un réel non nul de est contenu dans un intervalle ne contenant pas
Dans un tel intervalle, la fonction est le produit des fonctions continues ; la fonction est donc continue sur et en particulier au point
Pour étudier la continuité de au point , on peut écrire :
la fonction est donc continue sur
2.a. Pour tout élément de et tout on a :
Pour tout élément de et tout on a :
b. On a par réduction au même dénominateur :
On en déduit pour tout dans et par intégration :
i.e
enfin en divisant par s'il est non nul :
c. On déduit des questions précédentes que le taux d'accroissement de en s'écrit :
La deuxième relation de la question s'écrit aussi
: .
et on en déduit en divisant par : .
Puisque la fonction fonction a pour limite quand tend vers , le théorème des gendarmes permet de dire que .
Par conséquent,
, est dérivable au point et
La tangente à au point d'abscisse a pour équation
i.e ;
et on a pour tout non nul de : . Donc la courbe est au dessus de sa tangente .
d. Un réel non nul de est contenu dans un intervalle ne contenant pas
Dans un tel intervalle, la fonction est le produit des fonctions dérivables ; la fonction est donc dérivable sur et en particulier au point
Comme on sait déjà que est dérivable au point , on peut conclure que est dérivable sur
3. a. La fonction est dérivable sur et
Voici le tableau de variations de .
On constate d'après le tableau de variations que la fonction est positive dans .
b. La fonction est dérivable sur et
est donc car elle a le même signe que pour
La fonction est alors strictement décroissante dans
Voici le tableau de variations de .
4. Comme la droite d'équation est une asymptote de .
La fonction est décroissante et de limite quand tend vers , par conséquent, elle est strictement positive (Voir aussi son tableau de variation); la courbe est donc au dessus de l'axe des abscisses.
5. Voici la courbe
Partie B
1. La fonction étant décroissante dans on a pour tout et tels que et tout dans l'intervalle ce qui entraine par intégration : i.e
En appliquant cette relation aux réels entier compris entre et on obtient :
puis par sommation :
et la relation de Chasles entraine
soit
finalement
L'aire demandée est donc comprise entre et
Le logiciel Texgraph donne
2. a. Pour tout strictement positif on a :
b. Soit un réel strictement positif. En intégrant la relation précédente on obtient :
i.e
Or quand tend vers a pour limite donc
3.a. La fonction est strictement croissante dans car sa dérivée est strictement positive dans cet intervalle; donc avec et .
Par conséquent, on a bien .
b. Si appartient à , alors et multipliant par le réel strictement négatif on obtient
Soit un élément de .
La relation s'écrit
et en l'intégrant on obtient :
La fonction est donc bien majorée (par exemple par .
c. Pour tout entier naturel non nul on a :
est positive car est positive dans ; donc la suite est croissante.
La suite est donc majoré (par exemple par ); et comme elle est croissante, elle converge.
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