Partie A
1. a. Dans 0.1, en dérivant la première équation et en remplaçant par sa valeur tirée de la deuxième équation on obtient :
. Cette dernière équation est équivalente à : . La fonction est donc solution de 0.2.
De même, dans 0.1, en dérivant la deuxième équation et en remplaçant par sa valeur tirée de de la première équation on obtient :
. Cette dernière équation est équivalente à : . La fonction est donc solution de 0.2, équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficient constants.
b. l'équation caractéristique de 0.2 est .
Si l'équation caractéristique a pour solutions et . La solution générale de est donc , et constantes arbitaires.
La fonction étant solution de \ref{equaDiff}est de la forme précédente.
La relation donne alors .
La solution générale de 0.1 est donc
Si l'équation caractéristique a pour solutions et . La solution générale de est donc , et constantes arbitaires.
La fonction étant solution de 0.2 est de la forme précédente.
La relation donne alors .
La solution générale de 0.1 est donc
Si l'équation caractéristique a pour solution . La solution générale de est donc , et constantes arbitaires.
La fonction étant solution de 0.2 est de la forme précédente.
La relation donne alors .
La solution générale de 0.1 est donc
2. Si , il existe deux constantes telle
La relation et se traduit par
En faisant la somme et la différence, on trouve : .
Finalement
3. a) Un point de coordonnée appartient à si et seulement si :
En élevant qu carré et en faisant la différence, on obtient
Par conséquent est bien contenue dans la courbe d'équation
b) Pour construire il suffit de savoir que est la partie de la conique dont les points ont des coordonnées positives.
est contenue dans car pour tout réel et sont positives.
Réciproquement, soit un point de c'est à dire un point tel que :
et cherchons tel que
La relation montre que est
En posant on doit donc chercher un tel que c'est à dire
Les racines de cette dernière équation sont et
Les racines sont de même signe car leur produit est . La racine est ; en effet . Donc la racine est .
On prendra donc c'est à dire . Donc
Finalement
Partie B
1. a Un réel appartient à l'ensemble de définition de ssi c'est à dire .
Donc
.
Quand nous sommes en présence d'une indétermination de la forme . Pour lever cette indétermination, on peut écrire :
La fonction est dérivable sur et
Si , la dérivée est .
Si , la dérivée est car .
Lorsque la dérivée est une fonction continue, il existe une méthode peu coûteuse pour déterminer son signe. garde un signe constant dans chaque composante connexe (=intervalle) de . Pour connaître ce signe, on calcule alors la valeur de en un point particulier de la composante connexe.
On en déduit que la dérivée ne s'annule pas dans
Au point , le taux d'accroissement est pour
Il a pour limite quand tend vers . La fonction n'est donc pas dérivable à droite au point et on peut ajouter qu'au point de dont l'abscisse est il y a une demi-tangente verticale.
Raisonnement analogue au point ; en ce point le taux d'accroissement est pour
Il a pour limite quand tend vers . La fonction n'est donc pas dérivable à gauche au point et on peut ajouter qu'au point de dont l'abscisse est il y a une demi-tangente verticale.
tableau de variation en fin de document
Voir le tableau de variation de en fin de document.
b) est continue et strictement décroissante dans l'intervalle . Sa restriction à cet intervalle est donc une bijection de sur
c) Soit et cherchons tel que
L'application réciproque de est donc définie par
Remaraque 1
1. Une fois que l'on sait que est bijective et puisque que la réciproque est donnée par l'énoncé, il suffit de vérifier que et
L'étude des variations de montre bien que .
Or ; donc
2. Si on n'a pas montré que est bijective, il est nécessaire de vérifier que
et
et et
On a pour tout
Les courbes et étant symétriques par rapport à la première bissectrice, représente aussi l'aire du domaine plan délimité par les droites l'axe des ordonnées et la courbe .
Soit l'aire du rectangle et l'aire du rectangle .
Alors :
Finalement
.
b) Ici donc est tel que c'est à dire .
c) L'aire demandée est en unités d'aire.
Et puisque , unités d'aire
Partie C
1. a) La fonction est définie et continue sur et .
et
Voir le tableau de variation de en fin de document.
Posons . Le tableau de variation de montre que
Démontrons par récurrence que
La propriété est vrai au rang par ce que .
Supposons que la propriété soit vraie jusqu'à un rang , en particulier c'est à dire Alors .
Par conséquent la propriété est vraie pour tout .
La fonction étant strictement croissante dans , son taux d'accroissement est strictement positif dans . Donc, puisque pour tout et appartiennent à , on a : est strictement positif c'est à dire .
b) Les réels et ayant même signe, la suite garde un signe constant. Cela signifie que la suite est monotone.
Le signe de est alors celui de .
La suite est strictement décroissante.
La suite étant décroissante et minorée par , a une limite supérieure à .
c) Puisque la fonction est continue dans (c'est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas dans ) la relation entraîne c'est à dire ou . Donc {.}
2. a) Soient un entier naturel non nul et appliquons le thérème des accroissements finis à dans l'intervalle : il existe un réel dans tel que c'est à dire
. Donc
En faisant le produit membre à membre de à entier supérieur à on obtient : c'est à dire après simplification soit
Puisque et {, le théorème des gendarmes permet de conclure que
b) La relation montre que pour que soit tel que soit inférieur à ,il suffit que c'est à dire ou .
Finalement on peut prendre On peut améliorer ce résultat en remarquant que et que dans ce intervalle, . En reprenant le même raisonnement avec cette nouvelle borne on trouve : })
3. a) Exprimons d'abord le rapport .
En prenant le logarithme on trouve .
La suite est donc géométrique de raison et de terme
b) Par conséquent .
Soit en posant
.
Tirons maintenant en fonction de :
Donc .
Puisque appartient à , la suite a pour limite quand tend vers . Donc
.
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