2010 : Fonction et suites

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Introduction : le système-Monde : des espaces interdépendants (2)

Terminale S1 et S3

2010 : Fonction et suites

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A

Soit $a$ un réel non nul, $u$ et $v$ deux fonctions deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ et telles que :(0.1) $\left\{ \begin{array}{lll}u '= v \\v ' = a u \end{array}\right.$

1. a) Montrer que $u$ et $v$ vérifient l'équation différentielle (0.2) $y '' - ay =0$

b) résoudre l'équation (0.2) selon les valeurs de $a$ .

2. On suppose que $a=1$ . Déterminer $u$ et $v$ sachant que $u(0)=3$ et $v(0)=0$ .

Partie B

Le plan ${P}$ est muni d'un repère orthonormé $(O,\,\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j})$ (unité graphique $2$ cm).

Soit $(\Gamma)$ l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{P}$ dont les coordonnées $(x,\,y)$ vérifient :

(0.3) $\left\{ \begin{array}{llll} x(t) &=& \dfrac32 \big( \textrm{e}^t+\textrm{e}^{-t} \big )&\\ && &t\geq 0\\ y(t) &=& \dfrac32 \big( \textrm{e}^t-\textrm{e}^{-t}\big) \end{array} \right.$

L'objet de cette partie est de calculer l'aire du domaine plan délimité par $(\Gamma)$ et les droites d'équation $y=0,\;x=3$ et $x=5.$

1. a) Démontrer que $(\Gamma)$ est une partie de la conique dont une équation est : (0.4) $x^2-y^2-9 =0$

b) Préciser la nature de cette conique ainsi que ses éléments géométriques caractéristiques.

Construire $(\Gamma)$ .

2. Soit $\begin{array}{llll}f :&\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ & x&\mapsto&x-\sqrt{x^2-9}\end{array}$ et $\begin{array}{llll} g :&\mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x&\mapsto&\frac{x}{2}+\frac{9}{2x}\end{array}$ .

a) Etudier les variations de $f$ .

b) Montrer que la restriction de $f$ à l'intervalle $I=\big[3,\;+\infty\big[$ est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser. On note $\varphi$ cette restriction.

c) Démontrer que pour tout $x$ élément de $J,$ on a : $\varphi^{-1}(x) = g(x)$ .

d) Tracer $C_{\varphi}$ , courbe représentative de $\varphi$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ . Expliquer comment obtenir $C_{\varphi^{-1}}$ ,

courbe représentative de $\varphi^{-1}$ dans ce repère, à partir de $C_{\varphi}$ . Tracer $C_{\varphi^{-1}}$ .

3. Soit $\beta$ un élément de $\big]0,\;3\big[$ et $\alpha =g(\beta)$ .

a) Calculer $\int_{\beta}^{3}\;g(x) \, dx$ et en déduire que $\int_{3}^{\alpha}\, f(x)\, dx =\frac{\beta^2}{4}-\frac{9}{4}-\frac{9}{2 }\ln \frac{\beta}{3}$ .

Indication: On pourra interpréter ces deux intégrales comme des aires.

b) En déduire l'aire du domaine plan délimité par $(\Gamma)$ et les droites d'équation $y=0,\;x=3$ et $x=5$

Partie C

On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ telle que :

(0.5) $\left\{ \begin{array}{llll} u_{0} &=& 5& \\ u_{n+1} &=& g(u_n) & ; \textrm{ si } ; n \in \mathbb{N}\\ \end{array} \right.$

On se propose de calculer de trois façons différentes la limite de la suite $(u_n)$ .

1. a) Etudier les variations de $g$ puis montrer que $\forall n \in \mathbb{N},\; u_n > 3$ ; et ; $\forall n \in \mathbb{N}^*,\; \frac{g(u_{n})- g(u_{n -1})} { u_n - u_{n -1}} > 0.$

b) Déterminer le signe de $u_1-u_0$ puis montrer que la suite $(u_n)$ est monotone.

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

2. a) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $g$ dans un intervalle approprié, montrer que $\forall n \in \mathbb{N},\frac{ g(u_{n})- 3 } { u_n - 3 } < \frac{1}{2}$