2010 : Petit théorème de Fermat

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Corrigé Epreuve 2003 : Courbe paramétrée

Terminale S1 et S3

2010 : Petit théorème de Fermat

Détails: Catégorie : algèbre

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : "Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier naturel premier avec $p$ , alors $a^{p-1}\equiv 1 [p]$ ".

1. a) Démontrer que $193$ est un nombre premier.

b) Soit $a$ un entier naturel inférieur à $192$ . Montrer que $a^{192}\equiv 1 [193]$ .

2. On considère l'équation

$(E) :\quad 83 x-192 y = 1$ où x et y sont des entiers relatifs.

a) Vérifier que le couple $(155,\;67)$ est solution de $(E).$

Demander une solution particulière de (E)

b) Résoudre l'équation $(E)$ .

3. On note $A$ l'ensemble des $193$ entiers naturels inférieurs ou égaux à $192$ et on considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies de la manière suivante :

à tout entier $a$ de $A,\; f$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{83}$ par $193;$

à tout entier $a$ de $A,\; g$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{155}$ par $193.$

a. Démontrer $g(f(a)) \equiv a^{83 \times 155} [193]$ . En déduire que pour tout $a \in A$ on a : $g\big(f(a)\big)=a.$

b. Déterminer $f\circ g$ .

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