On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : "Si est un nombre premier et un entier naturel premier avec , alors ".
1. a) Démontrer que est un nombre premier.
b) Soit un entier naturel inférieur à . Montrer que .
2. On considère l'équation
où x et y sont des entiers relatifs.
a) Vérifier que le couple est solution de
Demander une solution particulière de (E)
b) Résoudre l'équation .
3. On note l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à et on considère les deux fonctions et définies de la manière suivante :
à tout entier de associe le reste de la division euclidienne de par
à tout entier de associe le reste de la division euclidienne de par
a. Démontrer . En déduire que pour tout on a :
b. Déterminer .
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