terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé 2013

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A

1. a. Les candidats ont le choix entre deux méthodes :

Par dérivation

L'application

$L\;:x\to\int_{0}^x u\mbox e^{-mu}\, du$ a pour dérivé $x\to xe^{-mx}$

L'application

$x\to(\alpha x + \beta)e^{-mx} +1/m^2$ a pour dérivé $x\to(\alpha mx + \beta)e^{-mx}$

Il suffit donc d'avoir :

$\left\{ \begin{array}{lll} -\alpha m & = & 1 \\ \alpha-\beta m & = & 0 \end{array} \right.$

$\alpha =-1/m$ et $\beta =-1/m^2$

l'application
$M\;:x\to\int_{0}^x u^2\mbox e^{-mu}\, du$ a pour dérivé $x\to x^2 e^{-mx}$

l'application

$x\to (a x^2+bx+c) e^{-mx}+2/m^3$ a pour dérivé $x\to (-amx^2 (2a-bm)x+b-cm)e^{-mx}$

il suffit donc d'avoir :

$\ \left\{ \begin{array}{lll} -am&=& 1 \\ 2a-bm&= & 0\\ b-cm&=&0 \end{array} \right.$

$a =-1/m,\;b =-2/m^2$ et $c =-2/m^3$

Par intégration par partie

En posant $U=u$ et $V'=\mbox e^{-m u}$ on trouve :

$\begin{array}{lll}Lx&=&\int_{0}^x ue^{-mu}du\\\\&=&\left[-\dfrac{1}{m}ue^-mu\right]_0^x+ \dfrac{1}{m}\int_{0}^x e^{-mu}du\\\\&=&-\dfrac{1}{m}xe^{-mx} - \dfrac{1}{m^2}\left[e^-mu\right]_0^x\\\\&=&\left(-\dfrac{1}{m}x-\dfrac{1}{m^2}\right)e^{-mx} + \dfrac{1}{m^2}\end{array}$

Pour la deuxième égalité, on pose $U=u^2$ et $V'=\mbox e^{-m u}$ on trouve :

$\begin{array}{lll}Mx&=&\int_{0}^x u^2 e^-mu du\\\\&=&\left[-\dfrac{1}{m}u^2 e^{-mu}\right]_0^x+ \dfrac{2}{m}\int_{0}^x ue^{-mu}du\\\\&=&-\dfrac{1}{m}x^2 e^{-mx} + \dfrac{2}{m}L(x)\\\\&=&\left(-\dfrac{1}{m}x^2-\dfrac{2}{m^2}x-\dfrac{2}{m^3}\right)e^{-mx} + \dfrac{2}{m^3}\end{array}$

b. l'exponentielle l'emporte sur les polynômes fg ; et que $m> 0 :$

$\lim_{x\to +\infty}\int_{0}^x u e^{-mu}\, du=\lim_{x\to +\infty}(\alpha x+\beta) e^{-mu}+1/m^2=1/m^2$

et $\lim_{x\to +\infty}\int_{0}^xu^2 e^{-mu}\, du=\lim_{x\to +\infty}(a x^2+b x+c)e^{-mu}+2/m^3=2/m^3$ }.

c. Puisque l'intégrale d'une fonction $\varphi$ positive et continue sur un intervalle $[a, b], a< b$ est positive, dérivable et de dérivé $\varphi$ , $f$ et $g$ sont positives, dérivables croissantes sur $I$ .

Comme $\forall u\in \mathbb{R}_+,\;0<\mbox e^{-u} \leq \mbox e^{u},$ on a, en ajoutant $\mbox e^{u}$ puis en passant à l'inverse :
$\forall u\in \mathbb{R}_+,\;\dfrac{1}{\mbox e^{u}}>\dfrac{1}{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u}} \geq \dfrac{1}{2\mbox e^{u}}$ .

- On en déduit en multipliant par $u^{2}$ et en intégrant de $0$ à $x>0 :$

$\dfrac{1}{2}\int_ 0^x ue^{-u} du \leq f(x) \leq \int_ 0^x ue^{-u} du.$

Le dernier membre est une fonction croissante de $x$ et d'après le b. (avec $m=1$ ) il a pour limite $1$ ; par conséquent, $f$ est majorée, et comme elle est croissante, elle a une limite $\ell$ .

On obtient alors par passage à la limite $\dfrac{1}{2} \leq \ell \leq 1.$

- On en déduit aussi en multipliant par $u^2$ et en intégrant de $0$ à $x>0 :$

$\dfrac{1}{2}\int_ 0xu^2 \mbox e^{-u} du \leq g(x) \leq \int_ 0xu^2 \mbox e^{-u} du.$

Le dernier membre est une fonction croissante de $x$ et d'après le b. (avec $m=1$ ) il a pour limite $2$ ; par conséquent, $g$ est majorée, et comme elle est croissante, elle a une limite $s$ .

On obtient alors par passage à la limite $1 \leq s \leq 2.$

d. Le changement de variable $t=-u$ conduit à
$fx=\int_{0}^-x =-\dfrac{t}{e^-t + e^t}dt =\int_0^-x (-\dfrac{t}{e^-t + e^t}dt=f(-x)$

2. La fonction $h$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée $x\mapsto h'(x)=-x(\mbox e^{x} +\mbox e^{-x} )$ est strictement négative sur $]0,+\infty[.$

Comme $h(0)=2$ et $\lim_{x\to +\infty }h(x) =-\infty$ , $h$ est une bijection de $[0,+\infty[$ sur $]-\infty, 2]$ qui contient $0$ . L'équation $h(x) =0$ admet une solution unique $x_0$ .

On a $h(1)=2/\mbox e>0$ et $h(1,3) \sim -0.47 <0$ (avec une machine à calculer), $x_0$ appartient bien à $]1;\; 1,3[$ .

3.a. La fonction $\varphi \;: x\mapsto \mbox e^x-x$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ et de dérivée $x\to \mbox e^x-1$ . Voici donc le T.V de $\varphi$ .

Ce tableau montre que $\forall x\in \mathbb{R},\;\varphi (x)\geq 1> 0$ , ce qui entraîne $\forall x\in \mathbb{R},\; \mbox e^x > x.$

b. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\forall x\in \mathbb{R}\;f'(x)=\dfrac{x}{\mbox e^x+\mbox e^{-x}}$

On déduit de l'inégalité précédente que

$\forall x\in \mathbb{R},\; \mbox e^x +\mbox e^{-x} > \mbox e^x > x,$ puis $1>\dfrac x{\mbox e^x +\mbox e^{-x}}=f'(x)$

La fonction $f$ étant continue et dérivable sur $\real$ , pour tout réel $x$ non nul, on peut lui appliquer le théorème des accroissements finis dans l'intervalle d'extrémités $0$ et $x$ : il existe un réel $c$ dans l'intervalle ouvert d'extrémités $0$ et $x$ tel que \cadre{5cm} $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c) < 1$ .

On en déduit que,

si $x>0$ alors $f(x)\{\mathbf{<}} x$ .

Et si $x<0$ alors $f(x)\{\mathbf{>}} x$ (Relation évidente puisque $f$ est positive).

Ces relations montrent que la courbe $\mathcal C_f$ est au dessous de la première bissectrice dans $]0,+\infty[$ et au dessus de la première bissectrice dans $]-\infty, 0[$ .

Comme $f(0)=0$ et que les inégalités précédentes sont \textcolor{red}{strictes}, le réel $0$ est bien la seule solution de l'équation $f(x)=x.$

Remarque : La relation $x>0 \Rightarrow f(x)\{\mathbf{<}} x=|x|$ montre puisque $f$ est paire que $x<0 \Leftrightarrow -x > 0\Rightarrow f(-x)\mathbf{<} -x\Leftrightarrow f(x)\{\mathbf{<} -x =|x|.$

On a donc $\forall x\in \mathbb{R}^*,\;0\mathbf{<}}f(x)\mathbf{<} |x|$

PARTIE B

Fixons $x$ dans $\mathbb{R}$ et, pour tout entier naturel $n$ , appelons $\mathcal P_n$ la proposition :

$f(x)- \sum_{p=0}^n(-1)^p \int_{0}^{x}u\mbox e^{-(2p+1)u} \;du= (-1)^{n+1}\int_{0}^{x} \dfrac{ u\mbox e^{-(2n+2)u} }{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u} }\;du$

$f(x)- \int_{0}^{x}u\mbox e^{- u} \;du= \int_{0}^{x}\dfrac{ u }{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u} }\;du- \int_{0}^{x}u\mbox e^{- u} \;du=\int_{0}^{x}\dfrac{-u\mbox e^{-2u} }{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u} }\;du$

$\mathcal P_0$ est donc vraie.

Supposons la proposition vraie jusqu'à un entier $n$ donné.

Alors

$\ \sum_{p=0}{n+1}(-1)^p \int_{0}^{x}u\mbox e^{-(2p+1)u} \;du\\ =f(x)- \sum_{p=0}{n}(-1)^p \int_{0}^{x}u\mbox e^{-(2p+1)u} \;du-(-1)^{n+1} \int_{0}^{x}u\mbox e^{-(2n+3)u} \;du$

(Isolation du dernier terme de la somme)

$= (-1)^{n+1} \int_{0}^{x} \dfrac{ u\mbox e^{-(2n+2)u} }{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u}}\;du-(-1)^{n+1} \int_{0}^{x}u\mbox e^{-(2n+3)u} \;du\mbox{ (car }\mathcal P_n\mbox{ est vraie)}\\ =-(-1)^{n+1} \int_{0}^{x}\dfrac{ u\mbox e^{-(2n+4)u} }{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u} }\;du$

(Regroupement des intégrales et réduction au même dénominateur)tex}=(-1)^{n+2}\int_{0}^{x}\dfrac{ u e^{-(2n+4)u}{e^{u} + e^{-u}du{/tex}.

La propriété est donc vraie au rang $n+1.$

On en déduit que pour tout réel $x$ positif :
$\begin{array}{l} \Bigg|f(x)- \sum_{p=0}^{n }(-1)^p \int_{0}^{x}u\mbox e^{-(2p+1)u} \;du\Bigg|\\\\ \leq \int_{0}^{x}\Bigg|\dfrac{(-1)^{n+1} u\mbox e^{-(2n+2)u} }{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u} } \Bigg|du\\\\ = \int_{0}^{x} \dfrac{ u\mbox e^{-(2n+2)u} }{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u} } du\\\\ \leq \int_{0}^{x} \dfrac{ u\mbox e^{-(2n+2)u} }{\mbox e^{u} } du\mbox{ car le dénominateur est supérieur à }\mbox e^{u}\\\\ = \int_{0}^{x} u\mbox e^{-(2n+3)u} du\\\\ \end{array}$

Ainsi $\Bigg|f(x)- \sum_{p=0}^{n }(-1)^p \int_{0}^{x}u\mbox e^{-(2p+1)u} \;du\Bigg| \leq \int_{0}^{x} u\mbox e^{-(2n+3)u} du$ .

En tenant compte de la première partie (avec $m=2p+1$ et $2n+3$ respectivement), on peut alors passer à la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ et écrire :

$\Bigg|\ell- \sum_{p=0}n(-1)^p \dfrac{1}{ (2p+1)^2} \Bigg| \leq \dfrac1{ (2n+3)^2}$

Pour trouver une valeur approchée de $\ell$ à $10^{-1}$ près, il suffit de choisir $n$ tel que

$\dfrac1{ (2n+3)^2} \leq 10^{-1}$ i.e $n\geq \dfrac{\sqrt{10}-3}{2}$ .

On peut donc choisir $n=1$ et prendre comme valeur approchée de $\ell$ le réel $\sum_{p=0}^1(-1)^p \dfrac{1}{ (2p+1)^2} =1-1/9=8/9$

1. On intègre par parties en posant $U=f(\lambda)-f(x)$ et $V'=1.$

Alors $U = -f^{\prime}(x) = \frac{x^2}{ex +e^-x } et on peut prendre {tex}V=x$ . Il vient $\int_{0}^\lambda(f(\lambda)-f(x))dx=\Big[x(f(\lambda)-f(x))\Big]_{x=0}^{x=\lambda}+ \int_{0}^{\lambda} \frac{x^2}{e^x +e^-x }dx=g(\lambda)$

$g(\lambda)$ peut donc être vu comme une mesure en unités d'aire de l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équations $x=0,\; x=\lambda;\, y=f(\lambda)$ et la courbe $C_f.$

$s,$ limite de $g(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty$ peut donc être vu comme une mesure en unités d'aire de l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équations $x=0,\; y=\ell$ et la courbe $\mathcal C_f.$

2. La fonction $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in \mathbb{R},\, f'(x) = \dfrac{x}{\mbox e^{x} +\mbox e^{-x}}$ a le même signe que $x$ .

Comme la fonction $f$ est paire, $\lim_{-\infty} f(x) = \lim_{+\infty} f(x) = \ell.$

Voici donc le tableau de variations de $f$ :

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in \mathbb{R},\, f''(x) = \dfrac{h(x)}{\mbox e^{x} +\mbox e^{-x}}$ .

D'après l'étude faite sur $h$ , les points de $\mathcal C_f$ d'abscisses $x_0$ et $-x_0$ sont des points d'inflexion.

Voici la courbe $C_f.$

3. a. $a_0$ est positif et pour tout entier naturel $n, a_{n+1}=f(a_n)$ est positif car $f$ est positive.

Comme pour tout réel positif $x, f(x)\leq x,$ on a $a_{n+1}=f(a_n)\leq a_n$ .

La suite $(a_n)$ est donc décroissante

La suite $(a_n)$ décroissante et minorée par $0$ , est convergente vers un réel $a \geq 0$ .

La relation $a_{n+1}=f(a_n)$ et la continuité de $f$ permettent d'obtenir par passage à la limite $f(a) =a$ i.e $a=0$ d'après la question b) :

La suite $(a_n)$ est donc convergente vers $0$ .

PARTIE C

1. Comme $\lim_{x\to +\infty}\ln x =0$ on a $\lim_{x\to +\infty}F(x) = \lim_{x\to +\infty}f(\ln x) = \lim_{t\to +\infty}f(t) =\ell$ .

$\lim_{x\to +\infty}F(x) = \ell$ .

On a, puisque

$\lim_{t\to 0^+}\ln_ t =-\infty$ :

$\lim_{x\to 0^+}F(x) = \lim_{x\to 0^+}f(\ln x) = \lim_{t\to -\infty}f(t) =\ell=F(0)$ .

$F$ est bien continue au point $0$ .

2. a. La fonction $f$ étant dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\ln$ dérivable sur $\mathbb{R}_+^*, F$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et $\forall x\in \mathbb{R}_+^*, F'(x) = f'(\ln x)\; \ln '(x) = \dfrac{\ln x}{x+1/x}\;\dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln x}{1+x^2}.$

b. t Soit $x$ un réel strictement positif. Puisque $F$ continue sur $[0, x]$ , dérivable sur $]0, x[$ , le théorème des accroissements finis permet d'affirmer l'existence d'un réel $c$ dans $]0, x[$ tel que $\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0} =F'(c)=\dfrac{\ln c}{1+c^2}$ .

Puisque $c\in ]0, 1[$ , on a $1+c^2\leq 2$ et en prenant l'inverse puis en multipliant par le réel \emph{négatif} $\ln c$ on obtient $\dfrac{\ln c}{1+c^2}\leq \dfrac{1}{2}\ln c$ .

On en déduit par transitivité $\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0} \leq \dfrac{1}{2}\ln c$ ; puis comme la fonction $\ln$ est croissante : $\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0} \leq \dfrac{1}{2}\ln x$ .

Quand $x$ tend vers $0^+,$

ce dernier membre ayant pour limite $-\infty$ on a : $\lim_{x\to 0^+}\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0} = -\infty.$

La fonction $F$ n'est donc pas dérivable au point $0.$

Remarque : Le théorème suivant qui n'est malheureusement pas au programme bien que souvent utilisé dans les classes terminales :

{Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a, b]$ , dérivable sur $]a, b]$ . Alors

- Si $f'$ a une limite $\alpha\in \mathbb{R}$ quand $x$ tend vers $a^+$ alors $f$ est dérivable au point $a$ et $f'(a) = \alpha.$

- Si $f'$ a une limite $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ tend vers $a^+$ alors $f$ n'est dérivable au point $a$ .

aurait permis d'établir la non dérivabilité de $F$ ; en effet $F$ est continue en $0$ et $\lim_{x\to 0^+}F'(x) =\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\in x}{1+x^2}=-\infty.$

C. Comme $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et $\forall x\in \mathbb{R}_+^*,\; F'(x)=\dfrac{\in x}{1+x^2},$ on a

$\forall x\in \mathbb{R}_+^*,\;F(x)-F(1) = \int_{1}^{x}F'(u)\; du= \int_{1}^{x}\dfrac{\in u}{1+u^2}\; du$

Mais $F(1)=f(ln 1)=f(0)=0$ , donc $\forall x\in \mathbb{R}_+^*,\;F(x) = \int_{1}^{x}\dfrac{ln u}{1+u^2}du^2$

Voici le graphe de $F$

En prenant pour $\Delta$ la droite $(O\Omega)$ , les points $A'$ et $B'$ sont confondus et le cercle qu'ils définissent est réduit au point $\Omega$ ; donc $\Omega$ est bien les seul candidat possible.

$(\overrightarrow{\Omega O},\overrightarrow{\Omega A})=\dfrac{\pi}{2}$ et $(\overrightarrow{A' O},\overrightarrow{A' A})=\dfrac{\pi}{2}[\pi]$ ; donc les quatre points $O, A, A'$ et $\Omega$ sont bien cocycliques.

De même $(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega O})=\dfrac{\pi}{2}$ et $(\overrightarrow{B' B},\overrightarrow{B' O})=\dfrac{\pi}{2}[\pi]$ ; donc les quatre points $O, B, B'$ et $\Omega$ sont bien cocycliques.

L'angle de $s$ est $(\overrightarrow{\Omega O}, \overrightarrow{\Omega A})=\dfrac{\pi}{2}$ .

On a $\dfrac{\Omega B}{\Omega} = \tan \widehat{\Omega O B}$

Soit $OAB$ un triangle rectangle direct.Pour toute droite $(\Delta)$ passant par $O$ , on note $A'$ et $B'$ les projetés orthogonaux respectifs de $A$ et $B$ sur $\Delta.$

On veut montrer que lorsque $\Delta$ varie, les cercles de diamètre $[A'B']$ passent par un point fixe.

Montrer que le point $\Omega$ , projeté de $O$ sur la droite $(AB)$ est le seul candidat possible.

Démontrer que les points $O, A, A'$ et $\Omega$ sont cocycliques ainsi que les points $O, B, B'$ et $\Omega$ . On note $C_A$ et $C_B$ les cercles contenant ces points.

Quel est l'angle de la similitude plane directe $s$ de centre $\Omega$ qui transforme $O$ en $A$ ?
Vérifier que l'image par $s$ du cercle $C_B$ est le cercle $C_A$ .

On pose $B''=s(B')$ . Démontrer que $(\overrightarrow{OB'},\overrightarrow{AB''})=(\overrightarrow{OB'},\overrightarrow{AA'})\quad[\pi]$ .

En déduire que $B''=A'$ . Conclure.

Dans le plan orienté, $OIKJ$ est carré de côté $1$ tel que $(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})=\dfrac{\pi}{2}$ , $A$ un point quelconque de la droite $(IJ)$ différent de $I$ . Soit $S$ la similitude plane directe de centre $O$ qui transforme $I$ en $A$ .

Les images de $J,K$ et $A$ par $S$ sont respectivement notées $J',K'$ et $A'$ .
Quelle est la nature du quadrilatère $OAK'J'?$

Prouver que les points $J', A$ et $A'$ sont alignés

Comparer les angles $(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA})$ et $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OA'})$ .

Montrer que $A'O = A'K'$ .
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ}),$ on note $a$ l'affixe du point $A$ et $\alpha$ un argument de $a$ .

Prouver que $a-1$ admet pour argument $-\dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{3\pi}{4}$ .

En utilisant la réflexion d'axe $(IJ)$ , montrer que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})= (\overrightarrow{KA},\overrightarrow{KI})[2\pi]$ .

En déduire qu'un argument de $a-(1+i)$ admet pour mesure $-\alpha-\dfrac{\pi}{2}$
Montrer que si $z'$ est l'affixe du point $M'$ , image du point $M$ d'affixe $z$ par $S$ alors $z'=az$ .

Déterminer $k'$ et $a'$ les affixes respectives des points $K'$ et $A'$ en fonction de $a$ .
On note $z_1$ et $z_2$ les affixes respectives de $\overrightarrow{KK'}$ et de $\overrightarrow{K'A'}$ . en utilisant la question 2, prouver que $z_1$ est un réel et $z_2$ un imaginaire pur.
Prouver que $K'$ est le projeté orthogonal de $A'$ sur la droite $(JK).$

En déduire, en utilisant la question 1, que lorsque le point $A$ parcourt la droite $(IJ)$ privée du point $I$ , le point $A'$ appartient à une parabole indépendante du point $A$ dont on précisera le foyer et la directrice.

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33