terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

corrigé 2013 : vecteurs

Détails: Catégorie : géométrie plane

1. Puisque $m=x+ix, m-i =x+i(x-1) = i(x-1-ix) = i\ \overline{m-1}.$

Donc { $|m-i|=|i|\ |m-1|= |m-1| =\sqrt{x^2+(x-1)^2}$

$(m-i)\ (m-1) = i\ \overline{m-1}(m-1)=i\ |m-1|\ ^2$ est bien imaginaire pur.

$m(1+i)=x(1+i)^2= 2ix$ est bien imaginaire pur.}

$O(0), I(1),K(1+i),J(i).$

2. a. Le rapport de $s$ est $k=\dfrac{JM}{JO}=\dfrac{|m-i|}{1}=|m-i|.$

Puisque $I$ et $M$ ont pour images respectives $I'$ et $M'$ par $s$ , on a : $k=\dfrac{I'M'}{IM}=\dfrac{I'M'}{|m-1|}$ ; donc { $I'M'=|m-1||m-i|$ .}

b. Le rapport de $s\circ s$ est $k^2= |m-i|^2.$

$J$ et $O$ ont pour images respectives $J$ et $s\circ s(O)=s(M)=M'$ par $s\circ s$ .

On a donc : $\dfrac{JM'}{JO} =\mbox{rapport de } s\circ s=|m-i|^2$ ; donc $JM'=JO |m-i|^2= |m-i|^2$ .

c. D'après la première question on a :

{ $I'M'=|m-1||m-i| = |m-i|^2=JM'.$ }

3. a. Le centre de $s$ étant le point $J(i),$ l'écriture complexe de $S$ est $z'=a(z-i)+i$ , $a$ nombre complexe à déterminer. $O$ a pour image $M(m)$ se traduit par : $m=a(-i)+i$ ; donc $a=(i-m)/i=1+im$ ; donc $z'=(1+im)(z-i)+i$ et

l'écriture complexe de $S$ est : $z'=(1+im)z+m.$

$I'$ a pour affixe $(1+im)\times 1+m= m(1+i)+1$ .

$K'$ a pour affixe $(1+im) ( 1+i)+m= 1+i +im$ .

$M'$ a pour affixe $(1+im)m +m= m(2+im)$ .

Par conséquent :

Le vecteur $\overrightarrow{II'}$ a pour affixe $z_{I'}-z_I = m(1+i)+1-1$

{Le vecteur $\overrightarrow{II'}$ a donc pour affixe $=m(1+i)$ }

Le vecteur $\overrightarrow{M'I'}$ a pour affixe $z_{I'}-z_{M'} = m(1+i)+1-m(2+im) = -i m^2+(-1+i)m +1 = i\big(m^2-(1+i)m -1\big)= -i(m-i)(m-1)$ .

{Le vecteur $\overrightarrow{M'I'}$ a donc pour affixe $-i(m-i)(m-1)$ . }

Puisque $m(1+i)$ est imaginaire pur, le vecteur $\overrightarrow{II'}$ est un directeur de la droite $(IK)$ ;

{le point $I'$ appartient donc à la droite $(IK)$ .}

4. Puisque $(m-i)(m-1)$ est imaginaire pur, $i(m-i)(m-1)$ est réel pur,

{le vecteur $\overrightarrow{M'I'}$ est donc orthogonal de la droite $(IK)$ .}

On en déduit que le point $I'$ est bien le projeté orthogonal de $M'$ sur $(IK)$ .

a. La relation (\ref{EqParabole}) devient $M'J=d\big(M', (IK)\big)$ .

Donc { $M'$ appartient à la parabole de foyer $J$ et de directrice la droite $(IK)$ .}

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33