Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct .
Soit le point du plan tel que
soit un carré.
Soit un point quelconque de la droite
différent de
et
la similitude plane directe de centre
qui transforme
en
. On note
l'affixe du point
,
et
les images respectives de
et de
par
.
1. Montrer que
et que les complexes
et
sont imaginaires purs.
étant un point de la première bissectrice différent de
, il existe un réel
non nul tel que
\note{
}
2.a. Vérifier que le rapport de est
, calculer alors
en fonction
b. Calculer le rapport de En déduire que
c. Démontrer que
3. a. Démontrer que l'écriture complexe de la similitude est
.
En déduire que les vecteurs et
ont pour affixes respectives
et
.
b. Prouver alors que est le projeté orthogonal de
sur la droite {tex}(IK).
c. Déduire de la relation de la question que lorsque le point parcourt la droite
privée du point
, le point
appartient à une parabole dont on précisera le foyer et la directrice.
Placer toutes les données précédentes sur une figure.
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