2013 : Etude de fonctions

Vous êtes ici : Accueil

Introduction : le système-Monde : des espaces interdépendants (2)

Terminale S1 et S3

2013 : Etude de fonctions

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\mathcal R=(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité graphique 2,5 cm).

PARTIE A

1. a. Soit $m$ un réel strictement positif. Déterminer en fonction de $m$ , des réels $a,b,c, \alpha,\beta$ tels que pour tout réel $x$ on ait :

$\int_0^x u \mbox e^{-mu}\ du = (\alpha x+\beta)\mbox e^{-mx}+\dfrac{1}{m^2}$ et

$\int_0^x u^2 \mbox e^{-mu}\; du = (ax^2+bx+c)\mbox e^{-mx}+\dfrac{2}{m^3}.$

b. Calculer alors $lim_{x\mapsto +\infty}\int_0^x u \mbox e^{-mu}\; du$ et $lim_{x\mapsto +\infty}\int_0^x u^2 \mbox e^{-mu}\; du.$

c. Montrer que les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\int_0^x\dfrac{u}{\mbox e^{u}+\mbox e^{-u}}\; du$ et $g(x)=\int_0^x\dfrac{u^2}{\mbox e^{u}+\mbox e^{-u}}\; du$

sont positives, dérivables et croissantes sur $I=[0,+\infty[$ .

Après avoir vérifié que $\forall u \in \mathbb{R}_+,\; \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{\mbox e^{u}}\leq \dfrac{1}{\mbox e^{u}+\mbox e^{-u}}\leq\dfrac{1}{\mbox e^{u}},$ déduire du $b.$ que, quand $x$ tend vers $+\infty$ , elles ont des limites respectives $\ell$ et $s$ appartenant à $\bigg[\dfrac{1}{2},1\bigg]$ et $[1, 2]$ .

Indication : On admettra qu'une fonction continue, croissante et majorée sur $[0,+\infty[$ , admet une limite finie à $+\infty.$

d. Montrer que la fonction $f$ est paire (faire le changement de variable $t=-u$ ).

2. En vue de l'étude d'éventuels points d'inflexions de la courbe $\mathcal C_f$ représentant la fonction $f$ dans le repère $\mathcal R$ , montrer que la fonction $h$ définie sur $I$ par : $h(x) = (1-x)\mbox e^x+(1+x)\mbox e^{-x}$ est dérivable sur $I$ et s'annule en un unique point $x_0$ appartenant à $]1;\;1,3[$ .

3. a. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}, \mbox e^x> x$ . En déduire que pour tout $x\in \mathbb{R}, f'(x)< 1.$

b. Soit $x$ un réel non nul. En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ dans l'intervalle d'extrémités $0$ et $x$ , étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal C_f$ et la première bissectrice.

En déduire que l'équation $f(x) = x$ a pour unique solution $0$ .

PARTIE B

1. a. Soit $x$ un réel positif. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $f(x)- \sum_{p=0}^{n}(-1)^p \int_{0}^{x}u\mbox e^{-(2p+1)u} \;du= (-1)^{n+1}\int_{0}^{x}\dfrac{ u\mbox e^{-(2n+2)u} }{\mbox e^{u} +\mbox e^{-u} }\;du.$
(On convient que $(-1)^0=1$ )

En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $\Bigg|\ell-\sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-1)^p}{(2p+1)^2}\Bigg|\leq \dfrac{1}{ (2n+3)^2}$ (Utiliser la question 1b. partie A)

Donner alors une valeur approchée de $\ell$ à $10^{-1}.$

2. En procédant à une intégration par parties, vérifier que pour tout réel positif $\lambda$

$\int_{0}^{\lambda} \Big(f(\lambda) - f(x)\Big)\;dx = g(\lambda).$

En déduire que $g(\lambda)$ et $s$ peuvent être interprétés comme aires de domaines que l'on déterminera.

3. Représenter la courbe $C_f$ .

On prendra $x_0=1,2,\; f(x_0)=0,2$ . On représentera en particulier l'asymptote horizontale, la tangente horizontale, les points d'inflexions et les tangentes à $\mathcal C_f$ en ces points et le domaine plan dont une mesure de l'aire est $g(3).$

NB. On rappelle que si une fonction est deux fois dérivable en un point $x_0$ et si sa dérivée seconde s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors le point de sa courbe d'abscisse $x_0$ est un point d'inflexion.

4. Soit $a$ un réel strictement positif. On pose $a_0=a$ et pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+1}=f(a_n)$ .

a. Démontrer que la suite $(a_n)$ est positive et monotone.

b. En déduire que la suite $(a_n)$ est convergente. Calculer alors sa limite.

PARTIE C

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par :
$F(0)=\ell$ et pour tout réel $x$ strictement positif $F(x)=f\big(\ln x\big)$ .