2012

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Fonctions numériques

1998 : Fonctions numériques et probabilités (05 pts)

Terminale S1 et S3

2012

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

On considère la fonction $f$ définie par :

$\left\{\begin{array}{llll} f(x)& =&\dfrac{\ln (1+x)}{x} & \mbox{si}\; x\neq 0 \\ f(0)& =&1\end{array} \right.$

$C$ désigne la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O,\,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ .

PARTIE A

1. Etudier la continuité de $f$ .

2.a Démontrer que pour tout réel $x$ non nul de l'intervalle $]-1, +\infty[$ on a :

$0 \leq \dfrac 1{x}\int_{0}^{x} \dfrac{u^2}{1+u} \ du \leq x \int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+u} \ du.$

(On pourra montrer ce résultat pour $x$ appartenant à $]0,+\infty]$ et pour $x$ appartenant à $]-1, 0[$ ).

b. Vérifier que : $\forall u \in ]-1, +\infty[,\; \dfrac{1}{1+u} = 1-u +\dfrac{u^2}{1+u}$

En déduire que : $\forall x\in ]-1, +\infty[,\; x\neq 0 \Rightarrow f(x) = 1-\dfrac 12x +\dfrac 1{x}\int_{0}^{x}\;\dfrac{u^2}{1 +u}\ du$

c. En exploitant les résultats des questions précédentes, montrer que $f$ est dérivable au point $0$ .

Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse $0$ et étudier la position de $\mathcal C$ par rapport à cette tangente.

d. Etudier la dérivabilité de $f$ .

3. a. Soit $g$ l'application définie sur $]-1, +\infty[$ par $g(x) = \ln(1+x)- \dfrac{x}{1+x}$

Etudier les variations de $g$ et déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x.$

b. En déduire le sens de variation de $f$ .

4. Etudier les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $]-1, +\infty[$ .

5. Déterminer les droites asymptotes à $\mathcal C$ et préciser la position de $\mathcal C$ par rapport à l'axe des abscisses.

6. Construire la courbe $\mathcal C$ .

PARTIE B

1. Justifier que pour tous réels $a$ et $b$ de $]-1, +\infty[$ tels que $a< b$ on a :

$(b-a) f(b) \leq \int_{a}^{b}\ f(x)\ dx \leq (b-a) f(a)$

En déduire un encadrement de l'aire de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal C$ et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x = 1$ ; on utilisera les nombres $0,\dfrac15,\dfrac25,\dfrac35,\dfrac45$ et $1$ .

2. a. En utilisant la fonction $g$ , montrer que pour tout $x > 0,\;f(x) - \dfrac1{x+1} \geq 0.$

b. En déduire la limite lorsque $t$ tend vers $+\infty$ de la fonction : $t \mapsto \Int{0}{t}\ f(x)\ dx.$

3. a. Soit $h$ l'application définie sur $]-1, 0]$ par $h(x) = x+1 - (x+1) \ln (x+1).$

Calculer $h'(x)$ pour $x$ appartenant à $]-1, 0]$ et montrer que pour tout réel $x$ de cet intervalle on a $h(x) \in ]0, 1].$

b. Montrer que : $\forall x \in \Big]-1, -\dfrac12\Big],\;0 \leq f(x) \leq - 2\ln (x+1).$

En déduire que la fonction $F:\; t\mapsto \int_{t}^{-1/2} f(x)\ dx$ est majorée dans $\Big]-1, -\dfrac12\Big]$ .

c. On considère la suite $(v_n)_{n > 0}$ de terme général $v_n = \int_{-1+1/n}^0 \ f(x)\ dx$ .

Etudier le sens de variation de la suite $(v_n)_{n >0}$ . En déduire que cette suite est convergente.

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