On considère la fonction définie par :
désigne la courbe représentative de dans le plan muni d'un repère orthonormé .
PARTIE A
1. Etudier la continuité de .
2.a Démontrer que pour tout réel non nul de l'intervalle on a :
(On pourra montrer ce résultat pour appartenant à et pour appartenant à ).
b. Vérifier que :
En déduire que :
c. En exploitant les résultats des questions précédentes, montrer que est dérivable au point .
Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse et étudier la position de par rapport à cette tangente.
d. Etudier la dérivabilité de .
3. a. Soit l'application définie sur par
Etudier les variations de et déterminer le signe de suivant les valeurs de
b. En déduire le sens de variation de .
4. Etudier les limites de aux bornes de l'intervalle .
5. Déterminer les droites asymptotes à et préciser la position de par rapport à l'axe des abscisses.
6. Construire la courbe .
PARTIE B
1. Justifier que pour tous réels et de tels que on a :
En déduire un encadrement de l'aire de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations respectives et ; on utilisera les nombres et .
2. a. En utilisant la fonction , montrer que pour tout
b. En déduire la limite lorsque tend vers de la fonction :
3. a. Soit l'application définie sur par
Calculer pour appartenant à et montrer que pour tout réel de cet intervalle on a
b. Montrer que :
En déduire que la fonction est majorée dans .
c. On considère la suite de terme général .
Etudier le sens de variation de la suite . En déduire que cette suite est convergente.
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