2012 : suite et petit théorème de Fermat

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Terminale S1 et S3

2012 : suite et petit théorème de Fermat

Détails: Catégorie : Suites

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
$u_n = 2^n +3\times 7^n+14^n -1.$

1. a. Calculer $u_3$

b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ est pair.

c. On note $(\mathcal E)$ l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $(u_n).$

Les entiers $2, 3, 5$ et $7$ appartiennent-ils à l'ensemble $(\mathcal E)$ .

2. On rappelle le petit théorème de Fermat : "Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$ , alors $q^{p-1}\equiv 1[p].$ )"

Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à $7$ .

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $14 = m n$ .

a. Quelles sont les valeurs possibles de $m$ ?

b. Montrer que $14\times m^{p-2} \equiv n$ (modulo $p$ ).

c. En déduire que $14 u_{p-2} \equiv 0$ (modulo $p$ ).

d. L'entier $p$ appartient-il à l'ensemble $\mathcal{E}$ ?

e. Déterminer $\mathcal{E}.$

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